《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数_D12_8一般周期的

第十二章第节一般周期的数的傅里叶级数一、以21为周期的函数的傅里叶展开傅里叶级数的复数形式HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

第八节 一般周期的函数的傅里叶级数 一、以2 l 为周期的函数的 傅里叶展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、傅里叶级数的复数形式 第十二章

一、以21为周期的函数的傅里叶展开周期为 2l 函数f(x)变量代换≥=元x周期为2元函数 F()将F(z) 作傅氏展开f(x)的傅氏展开式HIGH EDUCATION PRESS机动返回结束目录上页下页

一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开 周期为 2l 函数 f (x) 周期为 2 函数 F(z) 变量代换 l x z  = 将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理设周期为2l的周期函数f(x）满足收敛定理条件则它的傅里叶展开式为n元xn元xbsinFxCOSn1(在f(x)的连续点处)其中n元x=dxf(x)cos(n=0,1,2,...n元xbn=,5(n)dx(n=1,2,..)sinHIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为 (在 f (x) 的连续点处) an = x l n x f x l b l l n ( )sin d 1  − = 其中 定理. l 1 x l n x f x l l ( )cos d  − (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

元X,则 xE[-l,1] 变成 zE[-元,元 ]证明：令 z =令 F(2)= f(x) =f(马),则元(z+2元=+21)F(z +2元)=+元元7= f()=F(z)元所以F(z)是是以2元为周期的周期函数，且它满足收敛定理条件，将它展成傅里叶级数F(z)=an cosnz + bn sinnzn=1(在 F() 的连续点处HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

证明: 令 l x z  = , 则 令 ( ) ,  lz = f 则 ) ( 2 ) ( 2 ) (    + + = l z F z f ( 2l ) lz = f +  ( )  lz = f 所以 且它满足收敛 定理条件, 将它展成傅里叶级数: ( 在 F(z) 的连续点处 ) f (x) 变成 是以 2 为周期的周期函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

元F(z)cos nz dz(n =0,1, 2, ...)Ln元A一元其中儿bn =1 /F(z)sin nzdz(n=1,2,3,...)元一元元x令Z=1n元xdxf(x)cos(n=0,1,2,...)7n元x=dx(n=1,2,3,..)f(x)bnSirn元xn元x+Z(%+bf(x) =COSVsinann=1（在f(x)的连续点处）证毕HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

a F z nz z n ( )cos d 1 − =    其中 b F z nz z n ( )sin d 1 − =    令 l x z  = l an 1 = x l n x f x l b l l n ( )sin d 1  − = (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, 3, ) (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, 3, ) ( 在 f (x) 的 连续点处 ) x l n x f x l l ( ) cos d  − 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束

则有说明：如果f(x)为奇函数,8n元xZ(在f(x)的连续点处)bf(x)=sinnn=1n元xb,=其中dx(n=1,2,...)(x)sin，则有如果f(x)为偶函数,8n元x(在f(x)的连续点处)f(x)='ncosn=1n元x其中dxf(x)cos(n=0, 1, 2,..)an注：无论哪种情况，在f(x)的间断点x处，傅里叶级数收敛于[f(x-)+f(x+)]HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

说明: = ( )sin d ( =1, 2,)  x n l n x b f x n  其中 (在 f (x) 的连续点处) 如果 f (x) 为偶函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处) = ( )cos d ( = 0,1, 2,)  x n l n x a f x n  其中 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数 收敛于 如果 f (x) 为奇函数, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

E(t)=Esinのt经半波整流后负压消例1.交流电压失,试求半波整流函数的T傅里叶级数-2元解：这个半波整流函数2元的周期是它在[,"]上的表达式为Q二元≤t<0Qf(t) =Esinot,0≤t<匹0元元0Esino tcosnotdt00元E%0[sin(n + 1)@ t -sin(n - 1)@ t]d tHIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束机动

f (t) o t    + − −     0 sin(n 1) t sin(n 1) t d t 例1. 交流电压 经半波整流后负压消 失,试求半波整流函数的 解: 这个半波整流函数  2 ,它在 an =      0 Esin t cos n t dt 傅里叶级数. 上的表达式为   的周期是 2  −2    −  机动 目录 上页 下页 返回 结束

EoEo元0ocos2@sin2 tdt =a2元2元20n±1时EQ0J [sin(n + 1)o t - sin(n - I)o tldt2元10Eo1cos(n -1)o tcos(n + 1)@ t +(n-1)02元(n + 1)0(-1)n-)(-1)nE2元n+1n+1n-1n-10n=2k+3_[(-1)"-1 -1]E(k=0,1, ..)2En=2k(n2 -1)元(1-4k2)元HIGH EDUCATION PRESS返回机动目录上页下页结束

0    = 0    0 sin 2 t d t n 1时    + − −     0 sin(n 1) t sin(n 1) t d t   2 E an =   − − n t n   cos( 1) ( 1) 1   =   2 E 0   + + + − n t n   cos( 1) ( 1) 1   − − − − + + + + −   = − 1 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) 2 1 n n n n E n n    ( 1) ( 1) 1 2 1 − − − = − n E n = , (1 4 ) 2 2 k  E − n = 2k 机动 目录 上页 下页 返回 结束

0CEsinot·sinnotdt?2EQ(/[cos(n -1)@ t - cos(n+1)ot]d t2P0Esinot·sinotdt元EoEosin 2@ tE10(l-cos2wt)dt2元2001n>1时Eosin(n -l)o tsin(n + 1) tbn2元(n-1)(n +1)0HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

b Esin t sin t d t 0 1       =    n t n t t E cos( 1) cos( 1) d 2 0  = − − +          − − =     ( 1) sin( 1) 2 n E n t bn 0 ( 1) sin( 1) 0 =    + + −     n n t 2 0 sin 2 2             = − t t E n > 1 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束

由于半波整流函数f（t）在(-80,+80)上连续,由收-2元元H2元000收敛定理可得8E2EEf(t)= =cos2kotsinot+L2k=i1-4kT元(-8<t<+8交流部分直流部分说明：上述级数可分解为直流部分与交流部分的和2E12k次谐波的振幅为Ak=k越大振幅越小元 4k2-1因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f(x）了HIGH EDUCATIONPRESS上页下页返回结束机动目录

由于半波整流函数 f ( t ) = +  E f (t) t + E sin 2 k t k E k   cos 2 1 4 2 1 1  2  = − 直流部分 说明: 交流部分 由收 收敛定理可得 2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小, 因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了. o 2 t  −2    −  f (t) 上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. 机动 目录 上页 下页 返回 结束