《高等数学》课程教学资源（作业习题）第十章 重积分

数学题库--——第十章导数和微分第十章重积分；、填空题：1.已知D：x2+y2≤1，则La3.I,=[[(x+y)dg，,=[(x+y)"d，其中D由两坐标轴与直线x+y=1所围，则I,I2;5.=[[(x+y+1)dg，其中D=(x,)0≤x≤1,0≤y≤2),则I的范围为7.若D由曲线xy=4及直线y=4，x=2所围，化二重积分=[[f(x,y)dg为二次积分，则I=9.交换二次积分1=f(x,y)dy的积分次序，则I=V2Ry-yz11.化二次积分1=[dylf(x,y)dx为极坐标形式，则I=13.已知D由两坐标轴及直线x+y=1所围，若[,f(x)dx=[,x(x)dx，则[[f(x)dg=15.由曲线y2=4x和直线y=2x所围平面图形的面积为17.旋转抛物面z=1-x2=v在z≥0部分的曲面面积为A=二、单选题：1. 二重积分[[ (x,)d=lim(5,n,)A, 中的是（A.最大小区间长B.小区域最大面积C.小区域直径D.小区域的最大直径3.设D：(x-2)+(y-1)≤1，比较二重积分I,=[in(x+y)dg和I,=[[(x+y)dg的大小则（A. Ii=2B. I>12C. Ii0)，=0和x=1所围，且[[xydg=则k=（1512A. 1B.C. 2DV15V1543

数学题库-第十章 导数和微分 43 第十章重积分； 一、填空题： 1．已知 D： 2 2 x + y ≤1，则 =  D d _； 3．  = + D I 1 (x y)d ，  = + D I x y d 2 2 ( ) ，其中 D 由两坐标轴与直线 x + y = 1 所围，则 1 I _ 2 I ； 5．  = + + D I (x y 1)d ，其中 D = (x, y) 0  x 1, 0  y  2 ，则 I 的范围为_； 7．若 D 由曲线 xy = 4 及直线 y = 4， x = 2 所围，化二重积分  = D I f (x, y)d 为二次积分，则 I=_； 9．交换二次积分   − − = 2 2 2 2 ( , ) ax x a x a a I dx f x y dy 的积分次序，则 I=_； 11．化二次积分   − = R Ry y I dy f x y dx 2 0 2 0 2 ( , ) 为极坐标形式，则 I=_； 13．已知 D 由两坐标轴及直线 x + y = 1 所围，若   = 1 0 1 0 f (x)dx xf (x)dx ，则  D f (x)d =_ _； 15．由曲线 y 4x 2 = 和直线 y = 2x 所围平面图形的面积为_； 17．旋转抛物面 2 2 z =1− x − y 在 z≥0 部分的曲面面积为 A=_。 二、单选题： 1．二重积分 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i D i f x y d f      → =  =   中的  是（ ） A．最大小区间长 B．小区域最大面积 C．小区域直径 D．小区域的最大直径 3．设 D： ( 2) ( 1) 1 2 2 x − + y −  ，比较二重积分  = + D I 1 ln( x y)d 和  = + D I x y d 2 2 ( ) 的大小， 则（ ） A．I1=I2 B．I1＞I2 C．I1<I2 D．无法比较 5．  = D I x yd 2 ，其中 D 为 x 2 +y2≤1 在第一象限的部分区域，则（ ） A．   − = 1 0 1 0 2 2 x I dx x ydy B．   = 1 0 1 0 2 I dx x ydy C．   − = 1 0 1 0 2 2 y I dx x ydy D．   = 2 0 1 0 2 3 cos sin  I  d  d 7．   − = 1 0 1 0 ( , ) y I dy f x y dx ，则交换积分次序后得 I=（ ） A．   1 − 0 1 0 ( , ) x dx f x y dy B．   1 − 0 1 0 2 ( , ) x dx f x y dy C．   −y dx f x y dy 1 0 1 0 ( , ) D．   1 + 0 1 0 2 ( , ) x dx f x y dy 9．设 D 由 y = kx， (k  0) ， y = 0 和 x =1 所围，且 15 2 1 =  D xy d ，则 k=（ ） A．1 B． 3 1 15 C．2 D． 3 2 15

数学题库----第十章导数和微分13.设由×++≤k,0≤×≤1,0≤y,=≥0，所确定，其中>2为常数，若[=则42)k= (014B. 3C. 4D.A.3315.由双曲抛物面2z=xy、圆柱面x2+y2=2x及z=0所围的立体体积为（3517B.c.D.A.4444RR17.球面x2+y2+z2=R2被平面z所夹部分的曲面面积为（)42TR2πR?πR?元R2B.C.D.A.2345三、计算题：1．利用二重积分的性质，估计下列积分的值：(1) I=[[xy(x+y)da,其中D=(x,) 0≤x≤1, 0≤y≤1);(3) I=[[e-r-r do,其中D:x2 +y2<l;2.根据所给积分区域D，化二重积分I=f(x,J)do为两种次序不同的二次积分：(1) D=(x,y) 0≤x≤2, 0≤y≤l):(3)D由x+y=1，x-y=l，x=0所围的闭区域；(7) D=(x,j) x2 +y2 ≤1, x≥2)。3．改换下列二次积分的积分次序：(1) Jdy],f(x,y)dx:(3) J'dxf,f(x, y)dy+['dxf。 f(x, y)dy :() [ ,d:4.求下列二重积分(1) J[e*do,D风≤1,以≤1;D(3) JJxycos(xy)dg, D: 0≤x≤,0≤y≤2;25）（xyd，D由y=/x和y=x所围的闭区域；（7）[[cos(x+y)do，D由y=元，x=0，y=x所围的闭区域；44

数学题库-第十章 导数和微分 44 13．设Ω由 x y z k x y z + +       ,0 1,0 1, 0 ，所确定，其中 k  2 为常数，若   = 4 7 xdv ，则 k=（ ） A． 3 8 B．3 C．4 D． 3 14 15．由双曲抛物面 2z = xy 、圆柱面 x y 2x 2 2 + = 及 z = 0 所围的立体体积为（ ） A． 4 1 B． 4 3 C． 4 5 D． 4 7 17．球面 2 2 2 2 x + y + z = R 被平面 4 R z = 、 2 R z = 所夹部分的曲面面积为（ ） A． 2 2 R B． 3 2 R C． 4 2 R D． 5 2 R 三、计算题： 1．利用二重积分的性质，估计下列积分的值： （1）  = + D I xy(x y)d ，其中 D = (x, y) 0  x 1, 0  y 1 ； （3）  − − = D x y I e d 2 2 ，其中 D： 1 2 2 x + y  ； 2．根据所给积分区域 D，化二重积分  = D I f (x, y)d 为两种次序不同的二次积分： （1） D = (x, y) 0  x  2, 0  y 1 ； （3）D 由 x + y = 1， x − y = 1， x = 0 所围的闭区域； （7） ( )  2 2 2 D = x, y x + y 1, x  y 。 3．改换下列二次积分的积分次序： （1）   1 0 0 ( , ) y dy f x y dx ； （3）     − + 2 1 2 0 1 0 0 ( , ) ( , ) x x dx f x y dy dx f x y dy ； （7）   − − − 4 0 ( 4) 2 1 4 ( , ) y y dy f x y dx ； 4．求下列二重积分 （1）  + D x y e d ，D： x 1， y 1 ； （3） x y xy d D  cos( ) 2 2 ，D： 2 0   x  ，0  y  2 ； 5）  D xyd ，D 由 y = x 和 2 y = x 所围的闭区域； （7）  + D cos(x y)d ，D 由 y =  ， x = 0， y = x 所围的闭区域；

数学题库--第十章导数和微分(9)1/-dg，D由y=x2+1l，y=2x及x=0所围的闭区域；DJ+I5.利用极坐标求下列二重积分：（1）{xd，其中D为圆环1≤x2+≤4在第一象限内的部分闭区域；D(3）「[n(1+x2+y)da，D为圆x2+y2≤1在第一象限内的部分区域；D6.求下列三重积分：(1)(l[sin(x+y+z)dxdydz,Q:x≥0,y≥0,z≥0,x+y+z≤：2Dx+2?[[zdxdydz,Q:z≥0,≤1.(2)a?b?c2D四、重积分的应用：1.求曲面的面积：（1）求由抛物柱面z=x在平面区域D：0≤x≤1，0≤y≤1内的曲面面积：（3）求锥面z=/x2+y2被抛物柱面=2=2x所割下部分的面积；2.求体积：（1）求由旋转抛物面z=x2+y?，平面x+y=1及三坐标轴所围立体的体积；（3）求由锥面z=/x2+y和旋转抛物面z=x+y?所围立体的体积：45

数学题库-第十章 导数和微分 45 （9）  + D d y x  1 ，D 由 1 2 y = x + ， y = 2x 及 x = 0 所围的闭区域； 5．利用极坐标求下列二重积分： （1）  D xd ，其中 D 为圆环 1 4 2 2  x + y  在第一象限内的部分闭区域； （3）  + + D ln(1 x y )d 2 2 ，D 为圆 1 2 2 x + y  在第一象限内的部分区域； 6．求下列三重积分： （1）  + + D sin( x y z)dxdydz ，Ω： x  0， y  0 ， z  0 ， 2  x + y + z  ； （2）  D zdxdydz ，Ω：z≥0， 1 2 2 2 2 2 2 + +  c z b y a x 。 四、重积分的应用： 1．求曲面的面积： （1）求由抛物柱面 2 z = x 在平面区域 D：0  x 1，0  y  1 内的曲面面积； （3）求锥面 2 2 z = x + y 被抛物柱面 z 2x 2 = 所割下部分的面积； 2．求体积： （1）求由旋转抛物面 2 2 z = x + y ，平面 x + y = 1 及三坐标轴所围立体的体积； （3）求由锥面 2 2 z = x + y 和旋转抛物面 2 2 z = x + y 所围立体的体积；