《高等数学》课程教学资源（习题课）D12习题课 -

第十二章习题课求和与展开级数的收敏、数项级数的审敛法一、二、求幂级数收敛域的方法三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数和傅里叶级数展开法

习题课 级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅里叶级数 展开法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 第十二章

8求和ZtS(x)(在收敛域内进行)un(x)A展开n=0当x=xo 时为数项级数;8Z当un(x)=anx时为幂级数;un(x)n=0当un(x) = an cos nx + bn sinnx(αn,bn 为傅里叶系数)时，为傅里叶级数基本问题：判别敛散；求收敛域;求和函数；级数展开

求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 为傅里叶系数) 时, 为傅里叶级数. 时为数项级数; 时为幂级数; an bn (

数项级数的审敛法一、1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性Cun收敛台(s收敛>n=1lim un = On→8

一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性

2.正项级数审敛法→发散必要条件lim un, = 0不满足n→0满足Un+l比值审敛法lim部分和极限Un-→00p=l不定用它判别法根值审敛法limn/un =p比较审敛法n>8p1收敛发散

2. 正项级数审敛法 必要条件 lim = 0 → n n u 不满足 发 散 满足 比值审敛法 lim n→ un+1 un =  根值审敛法 =  → n n n lim u  1 收 敛 发 散  =1 不定 用它判别法 比较审敛法 部分和极限  1

3.任意项级数审敛法82un为收敛级数概念：n=188ZZ若收敛，称u绝对收敛unnn=1n=l808Z若发散，称条件收敛u>nn=1n=l若un≥un+1>0，且 lim un =0Leibniz判别法：n008≤un+l:收敛，且余项Z(-1)"un 则交错级数nn=l

3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法: 若 且 则交错级数 收敛 , 概念: 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛

例1 判定下列级数的敛散性：>(1-12n=l=1+Ylimun=lim解:(1)故原级数发散Yn0n00limr/u, = lim(1--)" :一故原级数收敛2nn8

例1 判定下列级数的敛散性： 解： 故原级数发散。 故原级数收敛

例2求下列数列的极限：n2limlim2n!2nn00-00hJr8Z解：（1）考虑级数用正项级数的比值审敛法n!2nn=131+1(n + 1)2n+1u1n+1limlimlim=037n-00u1-o2(n + 1)n0nn!2"故级数收敛，则有limunlimYn!2nn00n-→00

例2 求下列数列的极限： 解： （1）考虑级数 ，用正项级数的比值审敛法， 故级数收敛，则有

S(1+lim一1n-00n（+）”，用根值审敛法可知其收敛，考虑级数Yn=(+)收敛,设极限为 s则其部分和S1K=-+Rlim= lim ==0则n00n-0n

考虑级数 ，用根值审敛法可知其收敛， 则其部分和 收敛，设极限为 s 则

SZZ收敛，收敛。设u,>0,且证明：例3unnn=1n=lu分析:n1nH例4an与bn若级数均收敛,且 αn≤cn≤bn=1n=1Ecn收敛(n =l,2,..)，证明级数n=1分析::0≤cn-αn≤b-an188(bn-αn) 收敛Z(cn-αn) 收敛n=ln=lZcn=Z[(cn-an)+anl=E(cn-an)+收敛VZann=ln=n=ln=l

例4 若级数 均收敛 , 且 证明级数 收敛 . 分析： n n n n 0  c − a  b − a ( ) 1 n n  bn − a  = 收敛 ( ) 1 n n n  c − a  = 收敛 [( ) ] 1 n n n n =  c − a + a  = ( ) 1 n n =  c n − a  =   = + n 1 n a 收敛 分析： 例3

880Z设>绝对收敛条件收敛，证明：例5u..V1n=ln=l80Z条件收敛。+Vunnn=1V=un +yn-un≤lun+yn+u,分析：n7

分析： 例5