《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数_D12_1常数项级数

第十二章无穷级数常数项级数无穷级数函数项级数（幂级数，傅里叶级数表示函数研究性质无穷级数是研究函数的工具数值计算

无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 常数项级数 函数项级数（幂级数，傅里叶级数） 第十二章

第十二章第一节常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质HIGH EDUCATION PRESS

常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 第一节 第十二章

常数项级数的概念一、7引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积依次作圆内接正E 3×2n（n=0,1,2,.)边形,设aα表示表示边数内接正三角形面积ak则圆内接正增加时增加的面积3×2″边形面积为ao +aj +a2 +... +ann→8时,这个和逼近于圆的面积A即A= ao +ai +a2 +...+an +..HIGH EDUCATION PRESS

一、常数项级数的概念 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . + 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正

给定数列unf: ui,u28称之即u..为无穷级数>un=ui +u2 +u3 +...+un + :n=1n=1一般项:unn:S.=ui+u2+u3 +...+un部分和（前n项和）Ukk=1部分和数列Snf:uy,ui +u?..., u, +u, +... +un..ZZ和Y例如级数的部分和分别为：10″=n=1n(n + l)Sn210HIGH EDUCATION PRESS

给定数列 u1 , u2 , u3 ,  , un ,  称 为无穷级数 ,即 一般项： 部分和（前 n 项和）： 例如级数 和 的部分和分别为： 部分和数列

8定义：如果级数>的部分和数列s.有极限s,即un=1lims, = sn-08Z则称无穷级数收敛，极限s称为级数的和LYn=1lims,Z发散。若极限不存在，称无穷级数u1nn=12例如级数的部分和10nn=1收敛，级数收敛n80n(n + 1)级数之n的部分和发散，级数发散2n=1HIGH EDUCATION PRESS

则称无穷级数 收敛，极限 s 称为级数的和。 定义： 若极限 不存在，称无穷级数 发散。 例如级数 的部分和 级数 的部分和 发散，级数发散。 收敛，级数收敛

注:N(1)收敛台s收敛un=l8Z当级数收敛于s时，记余项un(2)n=1=s-S.=ufun+2n+11lim rn = 0显然n-8(3)s,与u的关系：=ui+u,+...+u7nn-nHIGH EDUCATION PRESS

显然 注： (2) 当级数 收敛于 s 时，记余项

例1.讨论等比级数(几何级数，9称为公比）的敛散性：8Zaq" =a+aq+aq?+...+aq" +... (a*0)n=0解：1)若 9±1,则部分和a-aqn-Sn =a+aq+aq"+...+aq1-qlim Sn =I-q当q|8n-0因此级数收敛,其和为当q|>1时,由于 lim qn =0,从而 lim Sn =o0,n→0n-0因此级数发散HIGH EDUCATION PRESS

例1. 讨论等比级数(几何级数，q 称为公比 ) 的敛散性： 解: 1) 若 q a a q n − − = 1 从而 q a n n S − → = 1 lim 因此级数收敛 ,其和为 ; 1 q a − 从而 lim =  , → n n S 则部分和 因此级数发散

2).若9=1,则当 q=1时, Sn=nα→oo,因此级数发散当g=-1时,级数成为a-a+a-a+...+(-l)n-1a+.n为奇数因此n 为偶数从而 lim Sn不存在，因此级数发散n8，等比级数收敛g<1时,综合 1)、2)可知，q≥1时,等比级数发散HIGH EDUCATION PRESS

2). 若 因此级数发散 ; 因此    Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散

例2.判别下列级数的敛散性88n+11Z7In12)jn(n+1)nn=ln=1解: (1)n+lSn =ln+innInD+ (n - In2)+ .4+ (In(n + 1) - Inn)= ln(n+l)→ 80(n→0技巧：利用求和拆项相消所以级数（1）发散HIGH EDUCATION PRESS

例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 1 2 Sn = ln = (ln 2 − ln1) + (ln3− ln 2) ++ (ln(n +1) − ln n) = ln(n +1) →  (n → ） 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 2 3 + ln 3 4 + ln n n 1 ln + ++

2Vn·(n+l)3.2.(-+-+-++-)n→8n+1所以级数(2)收敛,其和为 1HIGH EDUCATION PRESS

(2) ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1  + + +  +  +  = n n Sn        = − 2 1 1 1 1 1 + = − n →1 ( n → ） 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .       + − 3 1 2 1       + − 4 1 3 1       + + + − 1 1 1 n n 