《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章无穷级数_第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

第六节函数项级数的一致收敛性及性质引例函数项级数的一致收敛性三、一致收敛级数的基本性质下页返回MathGs上页公式数学家线与面

*第六节 函数项级数的一致收敛性及性质 一、引例 三、一致收敛级数的基本性质 二、函数项级数的一致收敛性

第六节函数项级数的一致收敛性及性质一、引例幂级数在其收敛区间内有几个非常好的性质，例如1.和函数在其收敛区间内连续2.逐项求导等于和函数求导：3.逐项积分等于和函数积分那么对一般的函数项级数，是否也具有以上这些性呢？下面先看两个例子下页返回MathGs上页公式数学家线与面

*第六节 函数项级数的一致收敛性及性质 一、引例 幂级数在其收敛区间内有几个非常好的性质，例如 1. 和函数在其收敛区间内连续； 2. 逐项求导等于和函数求导； 3. 逐项积分等于和函数积分． 那么对一般的函数项级数，是否也具有以上这些性 呢？ 下面先看两个例子

第六节函数项级数的一致收敛性及性质例1级数x+(x2 - x)+(x3 - x2)+L +(xn - xn-1)+L其前 n项之和为 S,(x)=x"每项在[0,1]上都连续,0,. 0±x<1,和函数 s(x)=lims(x)={1. x=1.n??该和函数在x=1不连续即每一项连续，但和函数不连续！下页返回MathGS公式上页数学家线与面

*第六节 函数项级数的一致收敛性及性质 例1 级数 每项在 [0,1] 上都连续, 其前 n 项之和为 和函数 该和函数在 x = 1 不连续. 即每一项连续，但和函数不连续！

第六节函数项级数的一致收敛性及性质例2函数项级数22sin 2sin xsin nxx+L++L21222n1sin n'x因为对任意x都有：f(n =1,2,L ),2nn所以它的收敛域为（口口，口口逐项求导后的级数cos x +cos22x +L +cos n2x+L其一般项不趋于0，所以对任意x都发散。即逐项求导不等于和函数求导！上页下页返回MathGS公式线与面数学家

*第六节 函数项级数的一致收敛性及性质 因为对任意 x 都有: 所以它的收敛域为(￾￾ , ￾￾但) ,逐项求导后的级数 其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 . 例2 函数项级数 即逐项求导不等于和函数求导！

第六节函数项级数的一致收敛性及性质问题函数项级数满足什么条件时才有：逐项连续可推出和函数连续：逐项求导等于和函数求导逐项积分等于和函数积分下页返回MathGS上页公式数学家线与面

*第六节 函数项级数的一致收敛性及性质 函数项级数满足什么条件时才有: 逐项连续可推出和函数连续; 逐项求导等于和函数求导; 逐项积分等于和函数积分． 问题

第六节函数项级数的一致收敛性及性质函数项级数的一致收敛性二区1.定义定义设s(x)为aun(x)在区间I上的和函数，若对n-1任意给定的口>0都有一个只依赖于口的自然数N使当n>N时，对区间I上的一切x都有 r(x) |= s(x)- sn(x)<e则称该级数在区间I上一致收敛于和函数s(x)下页返回MathGS上页公式数学家线与面

*第六节 函数项级数的一致收敛性及性质 二、函数项级数的一致收敛性 定义 设 s(x) 为 若对 都有一个只依赖于￾ 的自然数 N , 使 当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有 则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数 s(x) . 在区间 I 上的和函数, 任意给定的 ￾ > 0, 1. 定义

第六节函数项级数的一致收敛性及性质显然，在区间I上￥a un(x)一致收敛于和函数s(x)n=11部分和序列 Sn(x)一致收敛于s(x)个余项rn（x)一致收敛于0下页返回MathGs公式上页数学家线与面

*第六节 函数项级数的一致收敛性及性质 显然, 在区间 I 上 一致收敛于和函数s(x) 部分和序列 一致收敛于s(x) 余项 一致收敛于 0

第六节函数项级数的一致收敛性及性质一致收敛的几何解释只要 n 充分大(n>M)，在区间I上所有曲线 y=sn(x)将位于曲线= s(x) + 与 =s(x)- 之间y= s(x)=Sn(αx)Vy=s(x)-e0x下页返回MathGS上页公式数学家线与面

*第六节 函数项级数的一致收敛性及性质 x y O 一致收敛的几何解释 只要 n 充分大(n > N)，在区间I上所有曲线 y=sn (x) 将位于曲线 y = s(x) + ￾ 与 y = s(x) - ￾ 之间

第六节函数项级数的一致收敛性及性质例1研究级数111+L+L+(x+1)(x+2) (x+2)(x+3)(x+n)(x+n+l)在区间[0,+上的收敛性,例2证明级数x+(x - x)+(x3 - x)+L +(x" - xn-l)+L在(0,1)上不一致收敛，在[0,rl(r<1)上一致收敛下页返回MathGs公式上页线与面数学家

*第六节 函数项级数的一致收敛性及性质 例1 研究级数 在区间 [0, +∞) 上的收敛性. 例2 证明级数 在 (0,1) 上不一致收敛，在[0, r] (r < 1) 上一致收敛

第六节函数项级数的一致收敛性及性质2.级数一致收敛的判别法定理维尔斯特拉斯(Weierstrass）判别法￥若函数项级数aun（x）在区间I上满足：n-1(1) / un(网) / an (n= 1, 2, ...)?(2)正项级数aa,收敛，n-1?则函数项级数aun（x）在区间I上一致收敛n-l证明包下页返回MathGs上页公式数学家线与面

*第六节 函数项级数的一致收敛性及性质 2. 级数一致收敛的判别法 定理 维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法 若函数项级数 在区间 I 上满足: 则函数项级数 在区间 I 上一致收敛 . (1) | un (x) | ￾ an (n = 1, 2, .)； (2) 正项级数 收敛