《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 向量代数与空间解析几何_8-4 - 空间直线及其方程

第四节第八章空间直线及其方程空间直线方程二、线面间的位置关系

一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 空间直线及其方程 第八章

一、空间直线方程1.一般式方程直线可视为两平面交线A,x+Biy+Ciz+D1=0A2X+B2y+C2z+D2=0LⅡⅡV

一、空间直线方程 x y z o 0 A1x  B1 y  C1z  D1  0 A2 x  B2 y  C2 z  D2  1 2 L 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线

2. 对称式方程点Mo(xo, yo,20)方向向量=(m, n, p)TCM(x, y,z)x-xoy-yo-z-ZoM.(xo,Yo,z0)mnp思考:通过两点和 M2(X2,y2,z2)M,(xi, y1,z1)的直线方程如何？

( , , ) 0 0 0 0 M x y z 2. 对称式方程 m x x  0 M (x, y,z) n y y  0  p z z  0  s 点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 方向向量 s  (m, n, p) 

3.参数式方程x-xo-y-yoZ-设mnp得参数式方程x=xo+mty=yo +ntz=zo +pt

3. 参数式方程 设 得参数式方程 : t p z z n y y m x x       0 0 0 x  x  mt 0 y  y  nt 0 z  z  pt 0

例1.化直线的一般方程为对称式和参数式方程x+y+z+1=02x-y+3z+4=0解：先在直线上找一点(1,0,-2)再求直线的方向向量ni =(1,1,1), nz =(2, -1,3)=(4,-1,-3)S=Xn三X-+对称式方程为x=1+4t4y=-t参数式方程为z=-2-3t

例1 直线的一般方程为对称式和参数式方程 解:先在直线上找一点.            2 3 4 0 1 0 x y z x y z 再求直线的方向向量. (1, 0 ,  2 ) (1,1,1), n1  (2, 1,3) n2   1 2  s  n  n 对称式方程为 参数式方程为

二、线面间的位置关系1.两直线的夹角Si =(mi, ni, Pi), S2 =(m2, n2, P2COSss2mm2 +nn2 +PiP2mm+ni

L2 L1  二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角  1 2 1 2 1 2 m m  n n  p p 2 1 2 1 2 1 m  n  p 2 2 2 2 2 2 m  n  p ( , , ), ( , , ) 1 1 1 1 2 2 2 2 s  m n p s  m n p 1 2 1 2 cos s s s  s   1s 2s

特别地，有：3iS2个V(1) L Lmim2 +nin2 + PiP2 = 0(2) Lj // L2Si // s2个mi- ni- Pim2n2P2

特别地，有: 1 2 (1) L  L 1 2 (2) L // L 0 m1m2  n1n2  p1 p2  2 1 2 1 2 1 p p n n m m   1 2 s  s 1 2 s //s

例2.求以下两直线的夹角x+y+2=0Z+3x一x+2z=0解：直线L的方向向量为Si =(1, -4,1)K直线L，的方向向量为2==(2,-2,-1)C2二直线夹角β的余弦为1×2+(-4)×(-2)+1×(-1)cos@-12 +(-4)2 +12 22 +(-2)2 +(-1)2从而

例2 求以下两直线的夹角 解: 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 1 3 1 4 1 : 1     x  y z L         2 0 2 0 : 2 x z x y L cos  2 2  从而 4    L1的方向向量为 L2 的方向向量为  (2,  2, 1) 1 2  (4) (2) 1 (1) 2 2 2 1  (4) 1 2 2 2 2  (2)  (1) (1, 4,1) s1   1 0 2 1 1 0 2 i j k s 

2．直线与平面的夹角s=(m,n,p)n=(A,B,C)sin @=cos(,n)IIAm+Bn+CpVA?+B?+C2

L  2. 直线与平面的夹角  2 2 2 2 2 2 m n p A B C Am Bn C p        s  (m,n, p) n  (A,B,C ) s n s  n  s n sin cos( , ) ^ s n    

特别地，有：B(1) LIImnpstn(2) L /II :Am+Bn+Cp=0>

特别地，有: (1) L  (2) L //  Am  B n  C p  0 p C n B m A s// n   sn