《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十章重积分_第五节含参变量的积分

第五节含参变量的积分被积函数含参变量的积分二、积分限含参变量的积分下页返回MathGs上页公式数学家线与面

*第五节 含参变量的积分 一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分

第五节含参变量的积分被积函数含参变量的积分一、设f(x,J)是矩形域R=[a,b] [c，d]上的连续函数则积分 f(x,y)d确定了一个定义在[a,b]上的函数,j (x)=o f(x,y)d)记作x称为参变量，上式称为含参变量的积分含参积分的性质一连续性，可积性，可微性下页返回MathGs上页公式数学家线与面

*第五节 含参变量的积分 一、被积函数含参变量的积分 设 f (x , y) 是矩形域R=[a , b] ￾ [c , d]上的连续函 数, 则积分 确定了一个定义在[a, b]上的函数, 记作 x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分. 含参积分的性质 — 连续性, 可积性, 可微性

第五节含参变量的积分定理1（连续性）设f(x，y)是矩形域R=[a,b]口[c上连续，则含参变量的积分j (x)=o f(x,y)d)在[a,]上连续证明包下页返回MathGs上页公式数学家线与面

*第五节 含参变量的积分 定理1 (连续性) 设f (x , y)是矩形域R=[a , b] ￾ [c , d] 上连续, 则含参变量的积分 在[a, b]上连续

第五节含参变量的积分定理1表明，定义在闭矩形域上的连续函数，其极限运。即对任意的算与积分运算的顺序是可交换的.xo [a,b],lim o f(x,y)dy =O lim f(x,y)dy.x?xox?xo若f(x，y)在矩形域R=[a,bl[c，d]上同理可证，连续，则含参变量的积分v (y)=of(x,y)dx也在[c，d]上连续由连续性定理易得下述可积性定理：下页返回MathGS公式上页线与面数学家

*第五节 含参变量的积分 定理1 表明,定义在闭矩形域上的连续函数, 其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的. 同理可证, 续, 则含参变量的积分 由连续性定理易得下述可积性定理: 即对任意的 x0￾ [a,b], 若 f (x , y) 在矩形域R=[a , b] ￾ [c , d]上 连 也在[c , d]上连续

第五节含参变量的积分定理2（可积性）若f(x，）在矩形域R-[a，b]口[c,dj上连续，贝则(x)=of(x,y)dy在[a,b]上可积，并且di (m)dx=0o f(x,y)dydx=0o f(x, )dxgdyH定理3（可微性）若f(x，）及其偏导数J（x，J）都在矩形域R=[a，b][c，d]上连续，那么j (x)=o f(x,y)d)在[a,b]上可微分，并且dx)=of(x,y)dy证明台下页返回MathGs上页公式数学家线与面

*第五节 含参变量的积分 定理2 (可积性)若 f (x , y) 在矩形域R=[a , b] ￾ [c , d] 上连续, 则 定理3 (可微性)若 f (x , y) 及其偏导数 f x (x , y) 都 在 矩形域R=[a , b] ￾ [c , d]上连续，那么 在[a, b]上可微分，并且 在[a, b]上可积，并且

第五节含参变量的积分6例1 求=dx(0<a<b)ln x解白n(I+例2求 I = (d x.21+x解白下页返回MathGs公式上页数学家线与面

*第五节 含参变量的积分 例1 求 例2 求

第五节 含参变量的积分二、积分限含参变量的积分在实际问题中，常遇到积分限含参变量的情形，例如，设f(x，y)为定义在区域-y=b (x)a(x)y b(x)D :afxfby=a(x)上的连续函数，则b(xbxaxy)dy(x)=0X2也是参变量x的函数，其定义域为【a，b]下页返回MathGs公式上页线与面数学家

*第五节 含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分 在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 设 f (x , y) 为定义在区域 上的连续函数, 则 也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] . 例如, x y O a b D x

第五节含参变量的积分利用前面的定理可推出这种含参积分的性质定理4（连续性）若(x，J）在区域D:((x,y)a(x)fyf b(x), af xfb)则函数其中(α)，(α)为[a，b]上的连续函上连续，数，b(xi (x)= Qa) (x,y)d y在[a，b]上连续证明台下页返回MathGS上页公式数学家线与面

*第五节 含参变量的积分 利用前面的定理可推出这种含参积分的性质. 定理4(连续性) 若 f (x , y) 在区域 上连续, 其中 ￾ (x) , ￾ (x) 为[a , b]上的连续函 则函数 数， 在[a , b]上连续

第五节含参变量的积分定理5（可微性）若f(x，）及其偏导数f（x，J）都在矩形域R=[a，b][c，d]上连续，(α)，(α)为定义在[a，b]上，其值域含于[c，d]中的可微函数则bxi (x) =Oa)(x,y)d y在[a，上可微，且bx)i ux)=O) f(x, y)d y+ f(x, b(x)bx)- f(x,a(x)axx).证明台下页返回MathGs公式上页数学家线与面

*第五节 含参变量的积分 其值域含于[c , d]中的可微函数 , 则 定理5 (可微性)若 f (x , y) 及其偏导数 f x (x , y) 都 在 矩形域R=[a , b] ￾ [c , d]上连续，￾ (x) , ￾ (x) 为定义 在 [a , b]上， 在[a , b]上可微，且

第五节含参变量的积分x2sin xydy, 求 (x)例3设i (x)=Qy解台下页返回MathGs公式上页数学家线与面

*第五节 含参变量的积分 例3 设 求 ￾ ￾ (x)