《高等数学》课程教学资源（空间解析几何导学单）1.向量及其线性运算_8.1向量及其线性运算

教学基本指标教学课题课的类型第八章第一节向量及其运算新知识课教学重点教学难点投影向量的运算及坐标表示、方向角、投影教学要求1.正确理解向量的概念；2.熟练掌握向量加法及数与向量乘积的定义、运算规律：3.熟练掌握向量加法及数与向量乘积的坐标表示：4.熟记向量的模、方向角的计算公式，掌握向量在轴上的投影及其性质。教学基本内容1、既有大小又有方向的物理量称为向量.在数学上可用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向（箭头）表示向量的方向向量的表示：以M,为起点，M，为终点的有向线段表示的向量记为M,M，有时也用一个黑体字母（书写时，在字母上面加一箭头）来表示（见图5-1)，如a或a。向量的模：向量的大小（数学上有向线段的长度）叫做向量的模，记作lal，M,Ml.模为1的向量称为单位向量，记作e：模为0的向量称为零向量，记作0．零向量的方向可以看作是任意方向向径：以原点O为始点，向一点M引向量OM，这个向量叫做点M对于点O的向径，记作r，即r=OM.自由向量：只与大小、方向有关，而与起点无关的向量称为自由向量2、空间直角坐标系：过空间一个定点○，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且具有相同的长度单位，这三条数轴分别称为x轴（横轴）、轴（纵轴）、=轴（竖轴）、统称坐标轴.其正向符合右手规则.这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系，设M（xi,Ji,z)）、M2（2,y2,）为空间两个点，通过M,、M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以M,、M为对角线的长方体，由此可得d2=MM=(-+)+(y-)+(=-=):即d =M,M = V( -x ) +(2 -) +(2 -2. ) 3、向量的夹角-

1 教 学 基 本 指 标 教学课题 第八章 第一节 向量及其运算 课的类型 新知识课 教学重点 向量的运算及坐标表示、方向角、投影 教学难点 投影 教学要求 1. 正确理解向量的概念； 2. 熟练掌握向量加法及数与向量乘积的定义、运算规律； 3. 熟练掌握向量加法及数与向量乘积的坐标表示； 4. 熟记向量的模、方向角的计算公式，掌握向量在轴上的投影及其性质。 教 学 基 本 内 容 1、既有大小又有方向的物理量称为向量. 在数学上可用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向（箭头）表示向量的方向. 向量的表示： 以M1 为起点， M 2 为终点的有向线段表示的向量记为 M1M2 ，有时也用一个 黑体字母 （ 书写 时 ，在 字 母 上面 加 一 箭头 ） 来表 示 （ 见 图 5-1），如 a 或 a .  向量的模： 向量的大小（数学上有向线段的长度）叫做向量的模，记作 a ， M1M 2 .模为1 的向量称为单位向量，记作 e . 模为0 的向量称为零向量，记作0 . 零向量的方向可以看作是任 意方向. 向径： 以原点O 为始点，向一点 M 引向量OM ，这个向量叫做点 M 对于点O 的向径，记 作 r ，即 r = OM . 自由向量：只与大小、方向有关，而与起点无关的向量称为自由向量. 2、 空间直角坐标系： 过空间一个定点O ，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位，这 三条数轴分别称为 x 轴（横轴）、 y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴）、统称坐标轴. 其正向符合右手规则. 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系. 设 M1 ( x1 , y1 , z1 )、 M2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两个点，通过 M1 、 M2 各作三个分别垂直于三条 坐标轴的平面，这六个平面组成一个以 M1 、 M 2 为对角线的长方体，由此可得  2 2 2 2 d 2 = M M = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) ， 1 2 2 1 2 1 2 1 即  2 2 2 d = M1M 2 = (x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + (z2 − z1 ) . 3、向量的夹角

将向量α、b的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转过角度0后可与另一个向量正向重合，见图5-8，则称的向量α、b的夹角，记作（a,b),眼f元)4、向量的运算以共起点向量α、b为平行四边形相邻两边，以α向量的起点作为起点的其对角线表示的向量为两个向量的和，记为α+b，以α向量的终点为起点，b向量的终点为终点的对角线向量为向量的差。记为a-b=a(-b)设入是一个数，向量α与数的乘积α规定为当>0时，a表示一向量，其大小a=方向与α同向；当=0时，2a=0是零向量；当0时，a表示一向量，其大小ad，方向与a反向.特别地，当=-1时，（-1)a=-a5、向量的模、方向角设α为任意一个向量，又设α、β为与三坐标轴正向之间的夹角（0fαBy元），见图5-22，α,βy分别为向量α的方向角.由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影，故有a,=acosa,a,=acosβ，a,=acosy,其中cosα、cosβ、cosy称为向量α的方向余弦，通常用它表示向量的方向由模的定义，可知向量α的模为[=/( -x) +(-) +2-2,) =ya +a,+aaya或cosa=cosBCoSyJa+d,+d.Ja+a+a.a+d+a.由此可得cos?α+cos?+cos?y=1,即任一向量的方向余弦的平方和为1.a(ar, ay,a. )= (cos α,cos β, co n)(ax,ay,a.Va+a,+d.02

2 ( ) ( x − x ) + y − y + z 2 ( ) 2 ( ) 2 2 1 2 1 2 1 − z a 2 + a 2 + a 2 x y z a 2 + a 2 + a 2 x y z a 2 + a 2 + a 2 x y z a 2 + a 2 + a 2 x y z x y z 将向量a 、b 的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转过角度后可 与另一个向量正向重合，见图 5-8， 则称为向量a 、b 的夹角，记作  a, b ，即 =   a, b = b, a (0 £ π)， 4、向量的运算 以共起点向量 a 、b 为平行四边形相邻两边，以 a 向量的起点作为起点的其对角线表示的向 量为两个向量的和，记为 a + b , 以 a 向量的终点为起点，b 向量的终点为终点的对角线向量为向     量的差. 记为 a − b = a+ −b . 设是一个数，向量 a 与数的乘积a 规定为   当 0 时，a 表示一向量，其大小 a = a ，方向与 a 同向；   当= 0 时，a = 0 是零向量；当 0 时，a 表示一向量，其大小 a = −  a ，方向与 a 反 向.特别地，当= −1时， (−1)a = −a . 5、向量的模、方向角 设 a 为任意一个 向量 ， 又设、 、为 与三 坐标 轴 正向 之间 的 夹角 （ 0 £ ,, π ），见 图 5-22，, ,分别为向量 a 的方向角. 由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影，故有 cos x a a =  , cos y a a =  , cos z a a =  , 其中cos、cos 、cos称为向量 a 的方向余弦，通常用它表示向量的方向. 由模的定义，可知向量 a 的模为  a = = . 或cos= ax ，cos= ay ，cos= az ， 由此可得cos2+ cos2 + cos2 = 1， 即任一向量的方 向余弦的 平方和为1.  a 1 1 e a =  =  (ax , ay , az ) = (ax , ay , az )= (cos , cos   cos  ) . a a a 2 + a 2 + a 2