《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章 重积分_D10_3三重积分

第十章第三节三重积分三重积分的概念二、三重积分的计算HIGH EDUCATION PRESS机动返回结束自录上页下页

第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第十章

一、三重积分的概念引例：设在空间有限闭区域Q内分布看某种不均匀的物质,密度函数为 μ(x,y,z)εC,求分布在 内的物质的质量M采用解决方法：类似二重积分解决问题的思想“分割，近似代替，求和，取极限”2可得1M = lim△Vu(Sini,SA1-0i=1(5i,ni,5)HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用  引例: 设在空间有限闭区域  内分布着某种不均匀的 物质, (x, y,z)C, 求分布在  内的物质的 可得 0 lim → M = “分割, 近似代替, 求和, 取极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义：设f(x,y,z)是定义在空间有界闭区域Q上的有界函数，将区域Q任意分成n个小区域△y(i=l,2,,n)任取一点（sniS)Av，作乘积f(iniS)AnZf(,ni,5)vi，当各小区域最大直径→0时，并作和i=l此和式存在极限，则称极限值为 f(x,J,z）在 上的JJ (x, y,z)dv记作三重积分2HIGHEDUCATIONPRESS上页下页返回结束机动自录

定义: 函数，将区域 任意分成 n 个小区域 任取一点 作乘积 ， 三重积分. 是定义在空间有界闭区域 上的有界 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ，当各小区域最大直径 时， 此和式存在极限，则称极限值为 记作 设 Ω Ω 并作和 在 Ω 上的

n[J f(x, y,z)dv = lim)f(5i, ni,S)A7元-0il2注：（1）dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dv=dxdydz（2）被积函数f(x,y,z)在闭区域α上连续时，三重积分一定存在（3）物理意义：M=u(x, y,z)dv三2HIGH EDUCATION PRESS

（1） 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 注： （2）被积函数 在闭区域 上连续时，三重积 分一定存在. Ω （3）物理意义：

三重积分的性质：（与二重积分类似1.线性性质2.对积分区域的可加性dv=V9不等式性质，估值定理，积分中值定理，…HIGHEDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分的性质：（与二重积分类似） 1. 线性性质 2. 对积分区域的可加性 3. 不等式性质，估值定理，积分中值定理

二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分假设连续函数f(x,y,z)≥0方法1．投影法（“先一后二”方法2．截面法（“先二后一”）HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 假设连续函数 f (x, y,z)  0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(1)投影法(先一后二）设积分区域Q向xOy面投影区域为D，XZ=Z,(x,y)(x,y)eD)zi(x, y)≤z ≤z2(x, y)[f f(x, y,z)dxdydzOz=z(x,yCz2(x,)f(x,y,z)dzdo.Jz(y)囍D先定后重HIGH EDUCATION PRESS

(1) 投影法( ) 设积分区域 向 xOy面投影区域为 Dxy ， x y z O Dxy ( , ) 1 z = z x y 先定后重

a≤x≤b,若DXyJi(x)≤y≤y2(x)a≤x≤b即yi(x)≤y≤y2(x)zi(x,y)≤z≤z2(x, y)f (x, y,z)dxdydz1则2y2(x)z2(xy)f(x, y,z)dzdi聘x.yV1HIGH EDUCATION PRESS

若 则 即

xdxdydz，其中2为三个坐标例1.计算三重积分川Oix+2y+z=1所围成的闭区域面及平面0≤z≤1-x-2y解: Q:3 (0≤y≤(1-x)0≤x≤1xdxdydz一22(1-x)d.XdxJO0(1-x)(1-x-2y)dy-2x~ ++x)dx48HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

例1. 计算三重积分 ，其中 为三个坐标 x + 2y + z =1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 解:  :   − = − − (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y  −x− y z 1 2 0 d  = − + 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 0  z 1− x − 2y 0 (1 ) 2 1  y  − x 0  x 1 48 1 = 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2）截面法（先二后一)6(x,y)eDa≤z<b/ f(x, y, z)dxdydz2=J( JJ f(x,y,z)dxdy )dzD7记作[dzf f(x, y,z)dxdyCDHIGH EDUCATION PRESS机动上页下页返回结束自录

a b (2) 截面法 ( ) x y z (  = b a z Dz )dz 记作  机动 目录 上页 下页 返回 结束