《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章无穷级数_第八节一般周期函数的傅里叶级数

第八节一般周期函数的傅里叶级数周期为2的周期函数的傅里叶级数，傅里叶级数的复数形式返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第八节 一般周期函数的傅里叶级数 *二、傅里叶级数的复数形式 一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数

第八节一般周期函数的傅里叶级数一、周期为2的周期函数的傅里叶级数定理设周期为2l的周期函数f(x）满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为n元xn元xf(x)=号+2(b(xeEC),sin十COSan1n元xa,=L,ff(x)cosdx其中(n=0,1,2, ..)1n元xb,=,(x)sindx(n=1,2,3,..)1f(x)+f(xt)C=}xlf(x)=:2上页返回MathGS公式下页线与面数学家

第八节 一般周期函数的傅里叶级数 一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 定理 设周期为 2l 的周期函数 f (x) 满足收敛定理的 条件， 则它的傅里叶级数展开式为 ( ) , π sin π cos 2 ( ) 1 0 x C l n x b l n x a a f x n n n        = + +  = 其中 d ( 0,1,2, ), π ( ) cos 1 =  =  − x n l n x f x l a l l n d ( 1,2,3, ). π ( )sin 1 =  =  − x n l n x f x l b l l n , 2 ( ) ( ) | ( )       + = = − + f x f x C x f x

第八节一般周期函数的傅里叶级数8n元x当f(x)为奇函数时，f(x)=bn sin(xEC),1n=1n元xb,= (x)sindx其中(n = 1,2,3, .)18n元xaoZ当f(）为偶函数时，f(x）=(xEC),十COSa121n=1n元xa, =(x)cosdx其中(n=0,1,2,..)1证明台返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第八节 一般周期函数的傅里叶级数 当 f (x) 为奇函数时， ( ) , π ( ) sin 1 x C l n x f x b n =  n   = 其中 d ( 1,2,3, ). π ( )sin 2 0 =  x n =  l n x f x l b l n 当 f (x) 为偶函数时， ( ) , π cos 2 ( ) 1 0 x C l n x a a f x n = + n   = 其中 d ( 0,1,2, ). π ( ) cos 2 0 =  x n =  l n x f x l a l n 第八节 一般周期函数的傅里叶级数 证明 作变量代换 , π l x z = 于是区间 –l  x  l 就变 换成 –   z   . 设函数 ( ) , π ( ) F z lz f x f  =      = 从而 F(z) 是周期为 2 的周期函数，并且它满足收敛定理的 条件， 将 F(z) 展开成傅里叶级数 ( cos sin ) , 2 ( ) 1 0   = = + + n an nz bn nz a F z 其中 ( ) cos d , π 1 π −π a = F z nz z n ( )sin d . π 1 π −π b = F z nz z n

第八节一般周期函数的傅里叶级数例1设f(x)是周期为4的周期函数，它在[-2，2)0, -2≤x<0.(常数h±0)上的表达式为f(x)=h,0≤x<2将f(x)展开成傅里叶级数，解白s(x)x26-6-4-24下页返回MathGS公式数学家上页线与面

第八节 一般周期函数的傅里叶级数 例1 设 f (x) 是周期为4的周期函数，      −   = , 0 2 0, 2 0, ( ) h x x f x 第八节 一般周期函数的傅里叶级数 解 先求傅里叶系数，在这里 l = 2，  = 2 0 d 2 π cos 2 1 x n x an h 例1 设 f (x) 是周期为4的周期函数，      −   = , 0 2 0, 2 0, ( ) h x x f x 它在 [- 2 , 2) 上的表达式为 将 f (x) 展开成傅里叶级数. (常数 h  0) . 0 ( 0); 2 π sin π 2 0 =        = n n x n h  = 2 0 0 ( )d 2 1 a f x x   = + − 2 0 0 2 d 2 1 0d 2 1 x h x = h ; 它在 [- 2 , 2) 上的表达式为 将 f (x) 展开成傅里叶级数. (常数 h  0) . O x s(x) -6 -4 -2 2 4 6

第八节一般周期函数的傅里叶级数例2将如图所示的函数1px0≤x<22M(x)三1p(l-x)≤x≤l,22 M(x)分别展开成正弦级数和余弦级数解台pl41-201x1返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第八节 一般周期函数的傅里叶级数 例2 将如图所示的函数        −   = , 2 , 2 ( ) , 2 , 0 2 ( ) x l p l x l l x px M x 第八节 一般周期函数的傅里叶级数 解 例2 将如图所示的函数        −   = , 2 , 2 ( ) , 2 , 0 2 ( ) x l p l x l l x px M x 分别展开成正弦级数和余弦级数. 将 M(x) 进行奇延拓 O 2 l l 4 pl x M(x) 分别展开成正弦级数和余弦级数. O 2 l l 4 pl x M(x)

第八节一般周期函数的傅里叶级数二、傅里叶级数的复数形式在电子技术中，经常用到傅里叶级数的复数形式下面我们来推导傅里叶级数的复数形式设周期为2l的周期函数f(x)的傅里叶级数为8n元xaon元xZbf(x) :+sin十a.COSnh211n=1nxa,=L,(x)0(n = 0,1,2, .. )其中dxCOS1n元xb,=→L, (x)sindx(n = 1,2,3, .)1上页下页返回MathGS公式数学家线与面

第八节 一般周期函数的傅里叶级数 *二、傅里叶级数的复数形式 在电子技术中，经常用到傅里叶级数的复数形式， 下面我们来推导傅里叶级数的复数形式. 设周期为 2l 的周期函数f (x) 的傅里叶级数为 , π sin π cos 2 ( ) 1 0   =       = + + n n n l n x b l n x a a f x 其中 d ( 0,1,2, ), π ( ) cos 1 =  =  − x n l n x f x l a l l n d ( 1,2,3, ). π ( )sin 1 =  =  − x n l n x f x l b l l n

第八节一般周期函数的傅里叶级数8aon元xn元x>bf(xsin+a.COS十nn2n=l利用欧拉公式，得C-itit-ite+ee一cost =sin t22于是有.n元xnxnxn元x8ibdoaZn11-f(x)ee十+ee222n=nxm元x80ibib+1aoaa2h11nnne+e+222n=返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第八节 一般周期函数的傅里叶级数   =       = + + 1 0 π sin π cos 2 ( ) n n n l n x b l n x a a f x 利用欧拉公式，得 . 2 e e ,sin 2 e e cos it it it it t t − − − = + = 于是有   = − −         = + + − − 1 π i π i π i π i 0 (e e ) 2 i (e e ) 2 2 ( ) n l n x l n x l n n x l n x n a a b f x e . 2 i e 2 i 2 1 π i π i 0   = −         + + − = + n l n x l n n n x n n a a b a b

第八节一般周期函数的傅里叶级数nxn元x8-ib,+ib.a.qdon11nn1f(x) :+ee二222an-ib,+ibanao记1=Cn(n =1,2,3, ...)CnCo二222n元xnx68则11f(x) =Co +Ze+c.ec.nn=1n元xnTxn元x8>111c,e++c,ee二Cn2n=1n=0nTx8Z傅里叶级数的复数形式ecYn=-8上页返回MathGS公式数学家下页线与面

第八节 一般周期函数的傅里叶级数   = −         + + − = + 1 π i π i 0 e 2 i e 2 i 2 ( ) n l n x l n n n x n n a a b a b f x 记 ( 1,2,3, ) 2 i , 2 i , 2 0 0 = =  + = − = − c n a b c a b c a n n n n n n 则   = − −         = + + 1 π i π i 0 ( ) e e n l n x n l n x n f x c c c   = − − =         + +         = 1 π i π i 0 π i e e e n l n x n l n x n n l n x n c c c e . π i   =− = n l n x n c 傅里叶级数的复数形式

第八节一般周期函数的傅里叶级数下面来推导系数c,的表达式ao2,f(x)dx;Co2an -ib1Cn2n元xn元x北f(x)sindxf(x)Ocosdx11n元xn元xL, (x)(dxCOS1sin121n元x2,(a)e1 dx (n =1,2,3,..);MathGS上页下页返回公式数学家线与面

第八节 一般周期函数的傅里叶级数 下面来推导系数 cn 的表达式. ( )d ; 2 1 2 0 0 − = = l l f x x l a c 2 i n n n a b c − =       = − − − l l l l x l n x f x l x l n x f x l d π ( )sin i d π ( ) cos 1 2 1             = − − l l x l n x l n x f x l d π isin π ( ) cos 2 1 ( )e d ( 1,2,3, ) ; 2 1 π i =  =  − − f x x n l l l l n x

第八节一般周期函数的傅里叶级数n元x---L, : -L,s(0 d -123-); Co同理可得n元x=, (x) dx ( = 1,3.).上述三式可合并为.n元xC=L(wee1 dx (n=0,±l,±2,)傅里叶系数的复数形式上页下页返回MathGS公式线与面数学家

第八节 一般周期函数的傅里叶级数 ( )d ; 2 1 2 0 0 − = = l l f x x l a c ( )e d ( 1,2,3, ) ; 2 1 π i =  =  − − f x x n l c l l l n x n 同理可得 ( )e d ( 1,2,3, ). 2 1 π i =  =  − − f x x n l c l l l n x n 上述三式可合并为 ( )e d ( 0, 1, 2, ). 2 1 π i =  =    − − f x x n l c l l l n x n 傅里叶系数的复数形式