《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章 曲线积分与曲面积分_D11_2对坐标的曲线积分

第十一章第二节对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分的概念一、x与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十一章

对坐标的曲线积分的概念与性质一1.引例：变力沿曲线所作的功B设一质点受如下变力作用AF(x, y) =(P(x, y), Q(x,y)在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移动过程中变力所作的功W解决办法：变力沿直线所作的功“分割"“近似表示”W = FABcos O“求和"= F.ABB“取极限”HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, A B L x y 求移 W = F AB cos “分割” “近似表示” “求和” “取极限” 变力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. A = F  AB B F  F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1)“分割"把L分成n个小弧段，F沿M-MF(n)2所做的功为△W，则BLAyiIW=AW>AxX2“近似表示x用有向线段有向小弧段M-M, =(Axi,Ay)M-M上任取一点（,,n),则有.在M-M近似代替，AW ~F(5,,n).M-M= P(S, n)△x, +Q(5i,n)AyHIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

Mk−1 Mk A B x y 1) “分割” 2) “近似表示” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 所做的功为 F 沿 则 用有向线段 在 上任取一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3)“求和"1WE[P(5,, n)Ax, +Q(5), n)Ay]~i-14）“取极限nZW=lim[P(S,,n)Ax, +Q(5i, n)Ay)]元0i=1最大长度）(其中为n个小弧段的HIGH EDUCATION PRESS机动上页下页返回结束自录

3) “求和” 4) “取极限” (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.定义设L为xoy平面内从点A到点B的一条函数 P(x,y),Q(x,y) 在L 上有界,有向光滑曲线弧任意分割L为n段弧，在第i段弧上任意取点（Si，n)nP(Si,n)△x,存在极限，则称极限值当→0时，若>i=1为函数P(x,y）在L上对坐标x的曲线积分（或第二类曲线积分nZlimP(si, ni)AxiP(x, y)dx记作入-0inlEQ(5, n.)Ayilim1, O(x, y)dy =类似，可定义1>0ilHIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

2. 定义 设 L 为 xoy 平面内从点 A 到点B 的一条 有向光滑曲线弧, 任意分割 L 为 n 段弧，在第 i 段弧上任意取点 曲线积分）。 函数 在L 上有界， 当 时，若 存在极限，则称极限值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 →0 为函数 在 L 上对坐标 x 的曲线积分 ( 或第二类 记作 类似，可定义

注：（1）连续一定可积。P(x,y)dx+Q(x,y)dy（2）组合曲线积分（3）物理意义：（变力沿曲线作功）W=(. P(x, y)dx +Q(x, y)dy.Pdx+Qdy（4）沿闭曲线（5）沿空间曲线弧：P(x, y,z)dx+Q(x, y,z)dy+ R(x, y,z)dzHIGH EDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

（5）沿空间曲线弧： （3）物理意义：（变力沿曲线作功） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：（1）连续一定可积。 （2）组合曲线积分： （4）沿闭曲线 ：

3. 性质(1)线性性质(2)对积分路径的可加性(3)用L-表示L 的反向弧，则Pdx+QdyPdx+Qdy=-对坐标的曲线积分必须注意积分路径的方向HIGH EDUCATION PRESS机动返回结束自录上页下页

3. 性质 (1) 线性性质 (3) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则 对坐标的曲线积分必须注意积分路径的方向 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)对积分路径的可加性

二、对坐标的曲线积分的计算法定理：设 P(x,J),Q(x,y)在有向光滑弧 L上有定义且x =@(t)t:α→β,（单调变化）连续，L的参数方程为y=y (t)@(t),y(t)有一阶连续导数，且@(t)+y(t) +0则有P(x, y)dx +Q(x, y)dy(P[p(t), y(t)lp'(t)+Q[Φ(t), y(t)]y'(t))d tHIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为    = = ( ) ( ) y t x t   t : → , （单调变化）   =   P[ (t), (t)](t)+ Q[ (t), (t)](t)d t 连续, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有一阶连续导数，且

P(x,y)dx =证明：先证P[q(t), y(t)]p'(t)dt1On根据定义P(x,y)dx = limZP(Ei, ni)Axi1→0-设分点 x,对应参数ti，点(si,ni)对应参数 ti,由于Ax, = x; - xi-1= @(ti)-(ti-1) = @'(t))△tin>, P(x,y)dx = limP[@(ti), y(t)] p(t)At1-0inl7limP[p(ti), y(t)lp'(t,)At二2-0i=1CBP[β(t), y(t)l p'(t)dtO Q(x,y)dy =Q[o(t), y(t)l y'(t)d t同理可证HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

设分点 对应参数 根据定义 i x , i t , i  由于  i = i − i−1 x x x ( ) ( ) = i − i−1  t  t i i = ( )t P[ (t), (t)] dt  =      → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )]   → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )]  i i ( )t (t)  → = =  n i i i i P x 1 0 lim ( , )  对应参数 同理可证 Q[ (t), (t)] d t  =     (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明: 先证

y=y(x),x:a→b注：（1）L的方程为Pdx+Qdy=(P[x, y (x)]+Q[x, y(x)] y'(x))dxx=Φ(t)（2）沿空间曲线: =(t） t:α→β,z=0(t)Pdx+Qdy+Rdz=P(P[p(t), y(t), o(t)lp'(t)+Q[p(t), y(t), w(t)l y'(t)+R[Φ(t), y(t), (t)] o'(t) fd t(3）下限α对应起点，上限对应终点，α不一定小于B。HIGH EDUCATION PRESS返回上页下页结束定理目录

（1） L 的方程为 y = (x), x : a → b, P x x Q x x  x b a [ , ( )] [ , ( )] d  =  +  (x) （2）沿空间曲线 :   =   (t) (t) (t) P[ (t), (t), (t)] : , ( ) ( ) ( )      → = = = t z t y t x t 定理 目录 上页 下页 返回 结束 注：