《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数_D12_2常数项级数的审敛法

第十二章第二节常数项级数的审敛法正项级数及其审敛法一i二、3交错级数及其审敛法三、 纟绝对收敛与条件收敛HIGH EDUCATION PRESS

二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十二章

正项级数及其审敛法8Z若un≥0,则称un为正项级数n=l部分和：s,=u,+u,+...+u部分和数列的单调性：(Ss，单调增加考虑数列收敛的“单调有界准则”，若{s有界，思考正项级数2收敛性如何？u福n=lHIGH EDUCATION PRESS

一、正项级数及其审敛法 部分和： 部分和数列的单调性： 单调增加 考虑数列收敛的“单调有界准则”，若 有界， 正项级数 收敛性如何？

8Z收敛(s有界定理1正项级数un!In=18Zun收敛，则,Sn收敛，故有界证：若n=1JSn单调递增：un≥0，.部分和数列8Z也收敛s，有界，故Sn收敛，从而un又已知n=1注：要证某正项级数收敛，只需证其部分和数列有界而不需证部分和数列收敛，此方法简化了证明过程HIGHEDUCATION PRESS

定理 1 正项级数 收敛 有界 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界，故 从而 故有界. 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 注: 要证某正项级数收敛，只需证其部分和数列有界， 而不需证部分和数列收敛，此方法简化了证明过程

88ZEyn定理2（比较审敛法设正项级数Un'n=ln=1满足(n =1,2,.…….）则有un≤yT8>Zyn收敛，则级数也收敛(1)若级数unn=1n=l88L发散，！(2)若级数则级数也发散VunYn=ln=1HIGH EDUCATION PRESS

定理2 (比较审敛法) 设正项级数 满足 ，则有 (1) 若级数 则级数 (2) 若级数 则级数 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散

88证：Zu设正项级数的部分和分别为s.和αVnn=1n=1因为u,≤vn，则s,≤on(n=l,2,..)80Z(I)如果级数v,收敛，由定理1可知,有界，即存在n=l正数M，α,≤M,从而s≤M，即s有界，则正项级数8Z收敛。unn=181(2)如果级数u,发散，由定理1可知(s无界，从而n=l0Zv,发散。α,无界，所以级数HIGH EDUCATION PRESS

证:

例1 讨论p级数1 ++·(常数p>0)的敛散性解:1)若 p≤l,因为对一切 neZ+87Z>发散，由比较审敛法可知p级数而调和级数一n=inpnn=l发散HIGH EDUCATION PRESS

例1 讨论 p 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数   =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1  发散 . 发散

故2)若p>l,因为当n-1<x≤n时ndx≤hp-0-np-1(n +1)p-13p0-7n→8Zan=kp-1(k + 1)p-1(n + 1)p-1k=l故级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛HIGH EDUCATION PRESS

p 1, 因为当 , 1 1 p p n x  故  − = n p n p x n n 1 d 1 1  −  n n p x x 1 d 1   − −   − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数   − −   − −  =  1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和  n   + −   = − − =  1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n → 故级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n       + + + −       + −       − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n  1 2) 若

2收敛，发散。例如：2nn=lVnn=l81Z例2发散。证明级数n(n+1)n=1证：因为(n=1,2,...)n+ln(n+l(n+1)4Z而级数发散，由比较审敛法可知，原级数发散。n+1n=1HIGH EDUCATION PRESS

证明级数 发散。 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 +  n n + n 而级数 发散，由比较审敛法可知, 原级数发散。 例2 例如：

8>推论1对于正项级数若N,当n>N时，有Vunn=ln=1定理2的结论仍成立un≤n'8推论2对于正项级数若N,当n>N时，有Un=ln=1un≤kvn，k为大于0的常数，定理2的结论仍成立HIGH EDUCATION PRESS

推论1 推论2

设两正项级数定理3（比较审敛法的极限形式）88un =l,则有Zun，Zvn 满足limn-0Vnn=ln=l(1)当0 0,存在NEZ+,当n>N时"n-l|<8(1±8)nHIGH EDUCATION PRESS

定理3 (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时