《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 向量代数与空间解析几何_D8_4空间直线

第八章第四节空间直线及其方程、空间直线方程二、线面间的位置关系HIGHEDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

第四节 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 第八章

一、空间直线方程1.一般式方程直线可视为两平面交线，因此其一般式方程A,xByC,zD, oA,xB2yC2zD20(不唯一)HIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束

一、空间直线方程 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.对称式方程已知直线上一点Mo(xo,yo,zo)和它的方向向量s(m,n,p),设直线上的动点为M(x,y,z)则MoMl/sM(x,y,z)x xoyyoLzo故有M。(xo,yo,zo)mpn此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程说明：某些分母为零时，其分子也理解为零例如，当mnO,po时，直线方程为XoyyoHIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

2. 对称式方程 故有 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 设直线上的动点为 则 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 已知直线上一点 例如, 当 和它的方向向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.参数式方程x xo设mn福得参数式方程xxo mtyyo ntzzoptHIGHEDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束

3. 参数式方程 设 得参数式方程 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.用对称式及参数式表示直线xyz1o2xy3z40解：先在直线上找一点，yzO,得yo,z令x=1,解方程组3z6"故（1,0,2)是直线上一点再求直线的方向向量S交已知直线的两平面的法向量为nj (1, 1,1),n2 (2, 1,3)snnsni,sn2HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

例1.用对称式及参数式表示直线 解:先在直线上找一点. 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

ksn,n,1□(4,□1, 3)1故所给直线的对称式方程为x □14tO0参数式方程为P3t解题思路：先找直线上一点；再找直线的方向向量HIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束

故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、线面间的位置关系1.两直线的夹角两直线的夹角指其方向向量间的夹角（通常取锐角设直线L，L,的方向向量分别为Si (mi, ni, Pi), S2 (m2, n2, P2)则两直线夹角满足S1COssm,mInjn2piP2nmHIGHEDUCATIONPRESS下页返回机动目录上贝结束

二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 则两直线夹角 ￾ 满足 设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别有：S, s.V(1) L L2 mjm2nn2piP20(2) L / L2 <>SmlnPim2n2 P2HIGHEDUCATION PRESS机动目录下页返回上贝结束

特别有: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2．求以下两直线的夹角xy2□0L2 :x2z0解：直线L的方向向量为si(1,4,1)k直线L，的方向向量为s,□(2,□2,□1)的余弦为二直线夹角口1 2 □(C4) ~(2) □1 □(1)cOsLV2? □(2)2 (1)212□(4)从而HIGHEDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束

例2. 求以下两直线的夹角 解: 直线 直线 二直线夹角￾ 的余弦为 从而 的方向向量为 的方向向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线所夹锐角口称为直线与平面间的夹角；当直线与平面垂直时，规定其夹角设直线L的方向向量为(m,n,p)平面 □ 的法向量为n (A,B,C)则直线与平面夹角满足sincos( s,nAmBnCpV7R4HIGH EDUCATION PRESS下页返回机动目录上贝结束

当直线与平面垂直时,规定其夹角 线所夹锐角￾ 称为直线与平面间的夹角; ￾ 2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面 ￾ 的法向量为 则直线与平面夹角 ￾ 满足 直线和它在平面上的投影直 ︿ 机动 目录 上页 下页 返回 结束