《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 向量代数与空间解析几何_0807本章小结

第八章向量代数与空间解析几何本章小结本章主要内容例题分析三、 习题08

第八章 向量代数与空间解析几何 本章小结 一、本章主要内容 二、例题分析 三、习题

-、本章主要内容1、向量代数(1)向量的模、方向角、加法、数乘、数量积、向量积；(2)两向量的夹角、向量的投影、向量平行与垂直判别法：(3)平行四边形的面积、三角形的面积：主要问题：会进行向量的运算(4)2、平面和直线(1)平面的点法式方程、一般方程、截距式方程：(2)直线的点向式方程、参数方程、一般方程：(3)面面、线线、线面的夹角、平行与垂直判别：(4)点到平面的距离；主要问题：会求平面方程、直线方程(5)001018中个个高等教学教学部不不个

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3、曲面和曲线(1)旋转曲面的方程、柱面的方程：(2)曲线在坐标面上的投影方程：(3)了解二次曲面（如椭球面、锥面、双曲面、抛物面）Y000不不不高数学教学部不不不

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二、例题分析例 1 已知点 A(1,-3,4)、B(-2,1,-1)、C(-3,-1,1),求(1)ZBAC；(2)AB在AC上的投影例2设向量a与各坐标轴成相等的锐角，la=2V3，求a的坐标表达式.儿例3 设|a}= /3,|b}=1, (a,b)=求向量a+b与a-b的夹角；例4 设A=2a+b,B=ka+b，其中la=1,lb=2,alb，问:(1）k取何值时，AB?(2）k取何值时，以A、B为邻边的平行四边形的面积等于 6？001018个不个高数学教学部不不不

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新例5求 经 过 点 M,(3,-2,9)、M 2(-6,0,-4)且 与 平 面2x-y+4z-8=0垂直的平面的方程例 6 求通过 z轴且与平面2x+-5z-7=0的夹角为"的平面方3程.x-2y+1Z-2求过直线例7与平面x+4v-3z+7=0垂直的524平面方程。Z-2x-2y+1例 8求过点M(3,-2,9) 且与直线101x-1z+1y都平行的平面方程201x+y-z=例 9 求直线在平面x+y+z=0上的投影方程(-x+y-z=1008个不不高教学教学部不不不

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?例 1 已知点 A(1,-3,4)、B(-2,1,-1)、C(-3,-1,1),求(I)ZBAC；(2)AB在AC上的投影例2设向量a与各坐标轴成相等的锐角，lal=23，求a的坐标表达式.例3 设|a= /3,lb=1, (a,b)=求向量a+b与a-b的夹角；1例4 设A=2a+b,B=ka+b，其中a=1,|b=2,ab，问:(1） k取何值时，AI B?(2）k取何值时，以A、B为邻边的平行四边形的面积等于6？001018中个不不高教学教学部不不不

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C例1已知点A(1,-3,4)、B(-2,1,-1)、C(-3,-1,1);求(1)ZBAC；(2)AB在AC上的投影(1)AB = (-3,4,-5), AC = (-4,2,-3),解福357AB.AC2COSZBAC=ZBAC=arccosV58'50.~29[ABACI/5835AB.AC福(2)Pr jac AB =V29ACI例 2设向量a与各坐标轴成相等的锐角，lal=2/3，求a的坐标表达式.解 设 a= 2/3(cosα,cosα,cosα)V3cosα+ cos? α +cos?α =1 = cosα.:. a = (2,2,2)3001018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 7 (1)AB  (3,4,5), AC  (4,2,3), | || | cos AB AC AB AC BAC    50 29 35   , 58 7  . 58 7 BAC  arccos | | (2)Pr AC AB AC j AB AC   . 29 35  a  2 3(cos,cos,cos),  cos cos cos 1 2 2 2       , 3 3  cos  a  (2,2,2). 

T例 3 设|a|= /3,|b|=1, (a,b)=求向量a+b与a-b的夹角；解 a.b=al-lbicos(a,b) =3 a? =a= 3,b2 =b=1,(a+b)? =a2 +b2 +2a.b =7, (a-b)2 =a2 +b2 -2a.b =1,a? -b?:. cos(a+b),(a-b)-(a+b) (a-b)2la+blla-b1a+b).(a-b)=72(a+b),(a-b)=arccos 元001018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 8 ( ) 2 7, 2 2 2 a  b  a  b  a  b        a b | a | | b | cos(a , b)           , 2 3  ( ) 2 1, 2 2 2 a  b  a  b  a  b        | || | ( ) ( ) cos(( ) ,( )) a b a b a b a b a b a b                       2 2 2 2 (a b) (a b) a b            , 7 2  . 7 2 ((  ) ,(  ))  arccos  a b a b     | | 3, | | 1, 2 2 2 2 a  a  b  b     

福例4 设A=2a+b,B=ka+b，其中la=1,lb=2,alb，问:(1）k取何值时，AIB?(2）k 取何值时，以A、B为邻边的平行四边形的面积等于 6？解 (l) :alb,:.a.b=0, a2=ap=l,b2=bp=4,A1B A.B=0 =→2ka2 +b2=0 →2k+4=0→k=-2.(2)la×b|=|allb/.sin(a,b) = 2, a×a= 0,b×b = 0S=AxBl =|2a×b+kb×a=6 =l(2-k)a×b=6=[2(2 - k)/= 6 = kl = 5,k, = -1001018中个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 9 A B     A B  0   2 0 2 2  ka  b     2k  4  0 k  2. S | A B |     | 2a  b  kb  a | 6     | (2  k )a  b | 6   | 2(2  k ) | 6 5, 1.  k1  k2   | | 1, | | 4, 2 2 2 2 a  a  b  b      (2) | a  b || a |  | b | sin( a,b )  2,       a  a  0,b  b  0,    

例5求 经 过 点 M,(3,-2,9)、M,(-6,0,-4) 且 与 平 面2xy+4z-8=0垂直的平面的方程例 6 求通过 z轴且与平面2x+ y-~5z-7=0的夹角为=的平面方3程.-2y+17-求过直线例 7 与平面x+4-3z+7=0垂直的254平面方程000810个个个高等数学教学部不不个

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