《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章 多元函数微分学_0905隐函数的求导公式

第九章多元函数微分法及其应用第五节隐函数的求导公式个方程的情形二、方程组的情形08

第九章 多元函数微分法及其应用 第五节 隐函数的求导公式

一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数F(x,y)在点P(xo,y)的某一邻域内具有连续偏导数，且 F(x,y)=0，F,(x,yo)≠0，则F(x,y)=0 在该邻域内可唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y=f(x)，它满足条件Jo=f(x),并有dy__Fdx下面推导隐函数求导公式：aFaFdy=0对于方程F(xy)=0， 两边关于x求导：axOydxFdy解出Hdx008个个个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 2  0,      d x d y y F x F . y x F F  

下面推导隐函数求导公式：aFaFdy=0.对于方程 F(xy)=0， 两边关于 x 求导：axOydxFdy解出Fdx若 F(x，y）的二阶偏导数也都连续，则有ad'yCdyA+-ay(1dxFdx2=axFxE,-FFFx,F, -FFF2F2F.F?-2FFF.+FF?Fj2eoo8个个个高等数学教学部不不个

高等数学教学部 3  2 2 dx d y 2 y xx y yx x F F F  F F   . 2 3 2 2 y xx y x y x y y y x F F F  F F F  F F   ( ) y x F F y     ( ) 2 y x y x y y y y x F F F F F F F    ( ) y x F F x    d x d y  0,      d x d y y F x F . y x F F  

S例 1 验证方程sin y+e*-xy-1=0在点(0,0)的某一邻域内能唯一d'yA确定一个连续且有连续导数的隐函数y=f(t)，并求dydx2 /x=0.dx x=0 ,解 令 F(x,y)=siny+e*-xy-l,则F,=e*-y,F,= cos y-x连续，且F(0,0)=0,F,(0,0)=1±0,由定理1 可知，在点(0,0)的某一邻域内方程能唯一确定一个连续且有连续导数的隐函数y=f(x)公式法：dyyF=-1,x=0dx /x=0XlAcos y-xy=0d'yVx=0dr2/x=0dx cosy-x321(e*-y) (cos y-x) -(e*-y) (-sin y.y'-l)= -3.x=0(cos y-x)?J=0m0008拉个不高教学教学部不不不

高等数学教学部 4 F(x, y)  sin y  e  x y  1, x x0 d x d y   x0 y x F F y x e y x     cos  1, 0 0  y x 2 0 2 x dx d y ) cos ( y x e y dx d x     2 (cos y  x )    3. 1 0 0    y y x ( e y ) x   (cos y  x) (e y) x   (sin y  y  1) 1 0 0    y y x

例 1 验证方程sin y+e*-xy-1=0在点(0,0)的某一邻域内能唯—d'y确定一个连续且有连续导数的隐函数y=f(s)，并求"y,x=0dx /x=0dr?解二 令 F(x,y)=siny+e*-xy-l,则F,=e*-y, F,=cosy-x连续，且F(0,0)=0,F,(0,0)=1±0,由定理1可知，在点(0,0)的某一邻域内方程能唯一确定一个连续且有连续导数的隐函数y=f(x).隐函数求导法： siny+e-xy-1=0,cosy.y'+e* -y-xy'=0, y'(0) =-1,- sin y. y' y'+ cos y. y" +e* - y'-y' -xy" = 0, y"(0) = -3.0008个不个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 5 F(x, y)  sin y  e  x y  1, x cos y  y  e  y  x y  0, x y(0)  1,  sin y  y  y  cos y  y  e  y  y  x y  0, x y(0)  3. sin y  e  x y  1  0, x

隐函数存在定理 2设函数F(x,y,z)在点 P(x,yo,z)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x，yo,z)=0,F(xo,yo,z)±0,则F(x,y,z)=0在该邻域内可唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,J)，它azFoz满足条件z，=f(xs，y），并有ayaxF.下面推导隐函数求导公式：aFaFoz=0对于方程 F(x,y,z)=0,两边关于x求导：axOz. OxFFOz.OzX同理解出FayaxF.001018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 6  0,        x z z F x F , z x F F   . z y F F  

0'z例 2 设x2 + 2 +z2-4z =0,求88l8Ozozx2x + 2z0.解利用隐函数求导法axOx 2- zz1 +Oza2za'z0"z(2 - z)* +x2ax20202++2z= 0,ax?ax?Oxax?(2 - z)32-z解二公式法 F(x,y,z)=x2 +y2 +z2 -4z, F, =2x, F, =2z-4OzF2xx2z -4 2-zaxF.az(2 -z)+ x(2 -z)2 + x2a'zaaxxax?ax2(2 -z)3(2 -z)2--7o个个个高数学教学部不不个

高等数学教学部 7 2 2 4  0,       x z x z x z . 2 z x x z      2  2 2( ) x z   2 2 2 x z z    4 0, 2 2     x z x z z      2 2 2 2 1 ( ) x z    . (2 ) (2 ) 3 2 2 z z x     ( , , ) 4 , 2 2 2 F x y z  x  y  z  z F 2x , x  z x F F x z      2 4 2   z x , 2 z x  Fz  2z  4 ) 2 ( 2 2 z x x x z        2 (2 ) (2 ) z x z z x       . (2 ) (2 ) 3 2 2 z z x    

?二、方程组的情形隐函数存在定理 3 设函数 F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在点P(x,o,u,)的某一邻域内具有连续的一阶偏导数，又F(x，yo,uo,v）=0,G(x,,Jo,uo,v)=0，且偏导数所组成的行列式（称FFua(F,G)雅可比行列式）J在点P(xo,Jo,uo,v)不等于零，则a(u,v)G.G方程组F(x,y,u,)=0,G(x,y,u,v)=0在该邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,j),v=以(x,)，且满足条件uo =u(x,,yo),v = v(x,,y)并有F.F,F.FxGGG.G,OvQu1 (F,G)1 a(F,G)F.F,F.Faxax J a(x, v)Jo(u, x)G,G,GuGu0008个个高等教学教学部不不个

高等数学教学部 8 ( , ) 1 ( , ) x v F G x J u     , u v u v x v x v G G F F G G F F   ( , ) 1 ( , ) u x F G x J v     , u v u v u x u x G G F F G G F F  

-F.FF.F.G.G,avQu1 a(F,G)G1 a(F,G)G.FF,axaxJ a(x,v)J a(u, x)FFuGuG,G.G,FF,FF.GuGG,G,OvQu1 a(F,G)1 a(F,G)FF.FayF.ay,J a(y,v)Ja(u, y)G,G,GuGu008个不不高等数学教学部不不不X

高等数学教学部 9 ( , ) 1 ( , ) x v F G x J u       , u v u v x v x v G G F F G G F F   ( , ) 1 ( , ) u x F G x J v       , u v u v u x u x G G F F G G F F   ( , ) 1 ( , ) y v F G y J u       , u v u v y v y v G G F F G G F F   ( , ) 1 ( , ) u y F G y J v       . u v u v u y u y G G F F G G F F  

?[F(x, y,u(x,y),v(x,y))= 0推导公式：[G(x,y,u(x, y),v(x,y))= 0avQuFF +F.=0方程两边对x求导，得ox1avG.+G+G0axaxF.F+0,又在点P的某邻域内，上面方程组的系数行列式J=GuGav1 (F,G)Qu1 a(F,G)axJ a(u, x)axJ a(x,v)av1 a(F,G)au1a(F,G)同理ayJa(u,y)ayJ a(y,v)00810个不个高数学教学部不不个

高等数学教学部 10      ( , , ( , ), ( , )) 0 ( , , ( , ), ( , )) 0 G x y u x y v x y F x y u x y v x y    x u    x v    x u    x v    Fx  Fu  Fv  0 Gx  Gu  Gv  0 , ( , ) 1 ( , ) x v F G x J u        ( , ) 1 ( , ) u x F G x J v       , ( , ) 1 ( , ) y v F G y J u       ( , ) 1 ( , ) u y F G y J v      