《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 级数_1208一般周期函数的傅立叶级数

第十二章无穷级数第八节一般周期函数的傅立叶级数周期为2的周期函数的傅立叶级数0

第十二章 无穷级数 第八节 一般周期函数的傅立叶级数 一、周期为2l的周期函数的傅立叶级数

周期为21的周期函数的傅立叶级数1、展开公式定理　设周期为2l 的周期函数f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅立叶级数的展开式为nnf(x)=" +Z(a, cos+ b. sin)(xeC)n元xa, -, (x)cos其中dx, (n = 0,1,2,3, )1n元xb, -, (x)sin"dx, (n =1,2,3,..),C=(xI (x)=,If(x )+ f(x*))000x不不不高尊数学教学部不不个

高等数学教学部 2

n元当f(x)为奇函数时，f(x)=b, sin"(xeC),T (x)sin dx, (n= 1,2.3,);其中b,一当f(x)为偶函数时，f(x)=", +Za,cosn(xeC),其中a, )汀, (x)cos"心dx, (n= ,12.3,).44008个不个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 3

元X证作变量代换z=于是区间一1≤×≤1变成一元≤z≤元，1设函数f(x)=f(")= F(z),，从而 F(z)是周期为2元的周期函数，并且满足收敛定理的条件，将F（z）展开成傅里叶级数F(2)=" +Z(a, cos nz +b, sin nz),,=-" FF(z)cosnzdz, b, --[" F(z)sinnzdz.元元X注意到z=F(z)= f(αx)，于是有(x)-+2(a,cosn+,sin1P-4a,-L,5(x)cos"dt, b,-L,(x)sin"mdx0008个不高等教学教学部不不不

高等数学教学部 4 ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z k n  k      ( )cos , 1      a F z nzdz n ( )sin . 1      b F z nzdz n ( cos sin ), 2 ( ) 1 0       n n n l n x b l n x a a f x   ( )cos , 1   l l n dx l n x f x l a  ( )sin . 1   l l n dx l n x f x l b 

S2、收敛定理定理2（收敛定理狄利克雷(Dirichlet)充分条件）设f(x)是以2l为周期的周期函数如果它满足条件：(1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;(2)在一个周期内至多只有有限个极值点则f(x)的傅里叶级数收敛，并且当x是f(αx)的连续点时,级数收敛于,f(x);(1) 当x是f(x)的间断点时，收敛于(x)+f(r)(2)2说明只要函数f(x)满足定理条件，则在C=(xI f(x)=f(x)+ f(x)2nxnxao +(a,cos函数f(x)可展开成傅立叶级数f(x)="sinn=1001018个不高教学教学部不不不

高等数学教学部 5

C0-2≤x<00（常例 1设f(x)是周期为 4 的周期函数， f(x)=h0≤x<2数h≠0），将其展开为傅立叶级数1hoh2 r2nxnx20解a,=dxhcos[sin=24Jo2n2YRhdx = h,一ao= 0(n = 1,2,3, ...),2Johh2C2nxn元x20(1-cosn元)bdxhsin一cos4J022n元n元2hh13元XTX2hf(x)(sinsin十-n = 1,3,5, .2232元n元1(2n - 1)元x0n = 2,4,6,...sin..22n-1(x ± 0,±2,±4, ...),-0008个个个高尊数学教学部不不不

高等数学教学部 6   2 0 2 cos 4 2 dx n x an h   0(n  1,2,3,), o x y  2 2 h      2 0] 2 [sin n x n h    , 2 1 2 0 a0  hdx  h    2 0 2 sin 4 2 dx n x bn h  2 0] 2 [cos n x n h     (1 cos  )  n n h   , 0 2,4,6, 1,3,5, 2          n n n h      2 3 sin 3 1 2 (sin 2 2 ( ) h h x x f x    ), 2 (2 1) sin 2 1 1     n x n  (x  0,2,4,)