《高等数学》课程教学资源（课件讲稿，下册）第9章 第3讲 多元复合函数和隐函数的求导

第九章多元函数微分学及其应用9.3多元复合函数和隐函数的求导人民邮电出版社RISSAHITOTRES

9.3 多元复合函数和隐函数的求导 第九章 多元函数微分学及其应用

本讲内容01多元复合函数的求导法则02隐函数的求导法则

本讲内容 01 多元复合函数的求导法则 02 隐函数的求导法则

A、多元复合函数的求导法则思考：一元复合函数求导的方法

一、 多元复合函数的求导法则

OOA多元复合函数的求导法则1.中间变量为一元函数设函数z=f(u,v)，其中u=j（x），v=y（x）.如果函数u=j（x）定理9.6v=y（x)都在x点可导，函数z=f(u,v)在对应的点(u,v)处具有连续偏导数，则复合函数z=f(i（x)y（x）)在x处可导，且dz _ z duIz dv(9.1)dx u dxIv dx口决：分段用乘,分叉用加，单路全导，叉路偏导

一、 多元复合函数的求导法则 定理 9.6 4 1.中间变量为一元函数 口诀：分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导

O?0一、多元复合函数的求导法则注（1)定理9.6中的式(9.1)称为多元复合函数求导的链式法则（2）用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形比如z=f(u,v,w)，而u=j（x），v=y（x），w=w(x），则在与定理9.6相类似的条件下，复合函数关于x可导，且其求导公式为dz_z duz dv+z dw(9.2)dxIv dxw dxudx

一、 多元复合函数的求导法则 5

7>多元复合函数的求导法则中个口决：分段用乘，分又用加，单路全导，叉路偏导1.中间变量为一元函数

一、 多元复合函数的求导法则 6 z u u w z x x υ υ 口诀：分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 1.中间变量为一元函数

A多元复合函数的求导法则例1设2=et*2x=sint, =,求些dt例2设z=ln(u+v)+e，u=21,v=t2,求di

一、 多元复合函数的求导法则 例1 7

0O?O一、多元复合函数的求导法则2.中间变量为多元函数定理9.7设z=f(u,v)在(u,v)处可微，函数u=u(x,)，v=v(x,y)在(x,j)的两个偏导数都存在，则复合函数z=f(u(x,),v=v(x,))在(x,y)处的两个偏导数都存在，且有1z1zu1zv(9.3)1x[u IxI Ix121zIz vu(9.4)ly[u yIv y8

一、 多元复合函数的求导法则 定理 9.7 8 u x y z υ 2.中间变量为多元函数

OOA0、多元复合函数的求导法则定理9.7也可以推广到中间变量多于两个的情形.例如，设u=j（x,y），v=y（x,y），w=w(x,y)的偏导数都存在，函数z=f(u,v,w)可微，则复合函数z = f (u(x, y),v(x.y),w(x,y)对x和的偏导数都存在，且有如下链式法则zIz [uz [vzw(9.5)Ix[u |xIv[x[w |x1z1z1z Iv(wz u(9.6)y[u yIvIyIw y

一、 多元复合函数的求导法则 9

O?多元复合函数的求导法则求上正例3设z=e" sinv,u=xy，v=x+y,1x1y

一、 多元复合函数的求导法则 例3 10