《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十章 重积分_1003三重积分

重积分第十章第三节三重积分三重积分的概念和性质二、三重积分的计算08

第十章 重积分 第三节 三重积分

三重积分的概念和性质1、三重积分的定义定义设f(x,y,z)是空间有界闭区域Q上的有界函数，将闭区域Q任意分成n个小闭区域△v，△v2，,△,，其中△v,表示第i个小闭区域，也表示它的体积．在每个△v 上任取一点(5i,ni,)，作乘积f(si,ni,S)·△v,,(i=1,2,,n)，并作和f(5,ni,5,)Av．如果当各小闭区域的直径中的i最大值几趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域Q上的三重积分，记为Jf(x,y,z)dv,即JJ f(x,y,z)dv=limZf(5i,n,5,)Av,,其中 dv叫做体积元素.2=001018个不个高数学教学部不不不

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?在三角坐标系中，如果用平行于坐标轴的平面来划分Q，那么除了包含的边界点的一些小区域外，其余的小区域为长方体，体积记为Av; = Ax,AykAzi相应地，三重积分记为Ef(5i,ni,S)AvpJJ f(x,y,z)dxdydz= lim2.i-1其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素说明空间闭区域上的三元连续函数必可积如果连续函数p(x,y,z)表示物体在点(x,y,z)处的密度，是该物体所占有的空间闭区域，可知m=JJp(x,y,z)dv二2008个个个高等数学教学部不不个

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2、三重积分的性质假定下列各性质中的三重积分均存在性质 1 设α、β为常数时，则JJ][agf(x,y,z)+ βg(x, y,z)]dv= α ]f f(x, y,z)dv + βJ[I g(x, y,z)dyOJjif(x, y,z)+ g(x, y,z2)]dv= J[J f(x, ,z)dy + JJ g(x, y,z)dv,推论(1)222(2)JJ of(x,y,z)dv = α JJ (x, y,z)dv.性质2如果闭区域Q被有限张曲面分为有限个部分闭区域，则在Q上的三重积分等于在各部分闭区域上的三重积分的和JJJ f(x, y,z)dv. (2=2, U2, )[] f(x, y,z)dv= J] f(x,y,z)dv+ 2此性质称为三重积分关于积分区域具有可加性则 [[[ 1dv= [[ dv = V.性质 3若 V为Q的体积，贝Q2001018个不高等教学教学部不不不

高等数学教学部 4 ( , , ) ( , , ) ( , , ) . 1 2       f x y z dv  f x y z dv  f x y z dv ( )   1  2

性质 4 若在Q上，f(x,y,z)≤ g(x,y,z)，则JJ f(x, y,z)dv≤ J] g(x, y,z)dv.Q2推论 (1) 若在α上,f(x,y,z)≥0, 则[[ f(x,y,z)dv≥0.Q(2)1 J] (x, y,z)dv≤ J[(x, y,z)ldv.9中性质5（估值定理）设M、m分别是f(x,y,z)在闭区域Q上的最大值和最小值，V为α的体积，则mV≤JJf(x,y,z)dv≤MVQ001018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 5 (2)| ( , , ) | ( , , ) .     f x y z dv  f x y z dv

?性质6（二重积分的中值定理）设函数f(x,V,z)在闭区域2上连续，V为Q的体积，则在Q上至少存在一点(5,n,5)，使得[[[ f(x,y,z)dv = f(5,n,s) V.Q证f(x,y,z)在闭区域2上连续，则mV≤[llf(x,y,z)dv≤MV,2m≤JJ (x, ,z)dv≤M,即2(x,,z)dv=(5,n,5)故在Q上至少存在一点(5,n,)使得9JJ f(x, y,z)dv= f(5,n,):V2平均值公式设函数f(x,,z)在闭区域Q上连续，V为Q的体积，则函数(x,y,z)在α上的平均值为于 = (x, y,z)dv.Q0008中个不高教学教学部不不不

高等数学教学部 6 ( , , ) , 1 f x y z dv M V m     ( , , ) ( , , ) 1 f x y z dv f    V    f x y z dv  f V   ( , , ) ( ,, )

3、对称定理对称定理1如果空间区域Q关于xOv面对称，而以xOv面分割Q后其中一半记为Q，则(1) 当f(x, y,-z)= f(x,y,z)时, J[[ f(x, y,z)dv= 2[[[ f(x, y,z)dv2JJ f(x, y,z)dv= 0.(2) 当 f(x,y,-z)= -f(x,y,z)时,C对称定理 1'如果空间区域Q关于yOz面对称，而以yOz面分割Q后其中一半记为2，则(1) 当f(-x,y,z)= f(x, y,z)时, J[J f(x, y,z)dv= 2J][ f(x,y,z)dvO21J f(x,y,z)dv=0(2) 当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时,Q001018个不不高尊教学教学部不不不

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对称定理1"如果空间区域Q关于z0x 面对称，而以zOx 面分割Q后其中一半记为2，则J]] f(x, ,z)dv= 2]] f(x, y,z)dv.(1) 当 f(x,-y,z) = f(x, y,z)时,Q21JJ f(x, ,z)dv= 0.(2) 当 f(x,-y,z)=-f(x, y,z)时,2J[ 5 xyz dv = 0.如藍x*+y2+z?≤1008个不高等教学教学部不不不

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对称定理2 如果空间区域Q关于平面=x对称，而以平面=x分割后其中一半记为，则J[[ f(x, y,z)dv=2]ff f(x, y,z)dv(1)当f(x,y,z)= f(y,x,z)时,O2当f(x,y,z)=-f(y,x,z)时, JJJ f(x, y,z)dv= 0.(2)QJJf g(x)dv = JJf g(y)dvJ]] f(x, y,z)dv= J[] f(y,x,z)dv, J(3)?对称定理2＇如果空间区域Q关于平面z=y对称，而以平面z=y分割Q后其中一半记为2，则J]f f(x, y,z)dv=2]f f(x, y,z)dv.(l) 当f(x,y,z) = f(x,z,j)时,O$21(2) 当f(x,y,z)=-f(x,z,y)时, [[[ f(x,y,z)dv=0.J[J f(x, y,z)dv= JJ f(x,z, y)dv, JJ g(y)dv= JJf g(z)dv.(3)2200008中个不高教学教学部不不不

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对称定理2”1如果空间区域Q关于平面x=z对称，而以平面x=z分割2后其中一半记为2,，则JJ f(x, y,z)dv=2J] f(x, y,z)dv.(1)当 f(x,y,z) = f(z, y,x)时,Q21JJf f(x, y,z)dv = 0.(2) 当f(x,y,z)=-f(z,y,x)时,0JJ f(x, y,z)dv= JJ f(z, y, x)dv, J] g(x)dv= JJ g(z)dv(3)QO对称定理2"如果空间区域关于平面x=y,=z,z=x均对称，则(1)JJ f(x,y,z)dv= JJ f(y,z,x)dv= JJJ f(z,x, y)dv.CCJ g(x)dv= JJ g(y)dv= JJ g(z)dv.(2)盛22200810个不不高教学教学部不不不

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