《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章 多元函数微分学_0907方向导数与梯度

第九章多元函数微分法及其应用第七节方向导数与梯度一、方向导数二、梯度08

第九章 多元函数微分法及其应用 第七节 方向导数与梯度

S引言设函数y= f(x)在点x,的某个邻域内有定义.当自变量 x 在x,处取得增量△r(点x+△r仍在该邻域内），相应地函数取得增量Ay=f(x+△x)-f(x).如果△r→0时△y与△r之比的极限存在，则称之为函数y=f(x)在x,处的导数，并称y=f(x)在x,处可导f(x, +Axr)- f(x,)I(x0)= lim Ay = lim.AxAr-0 AxAr-→0说明导数反映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度，导数f'(x）也称为f(x)在x处的变化率0008不不不高数学教学部不不不

高等数学教学部 2 x f x x f x x y f x x x       ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0       

S、方向导数1、方向导数的定义1y定义设l是xOy面上以P(xo,J)为始点P(x,y)的一条射线，é, =(cosα,cosβ)是与/同方向的Ayβ单位向量，射线的参数方程为aArP,(xo,yo)[x = X, +tcosα(t ≥ 0).xy = yo + tcosβ0设函数z= f(x,y)在点P,(x,J)的某邻域U(P,)内有定义P(x+tcosα,y.+tcosβ)为l上另一点且 PeU(P） 如果极限f(x, + tcosα,y。+tcos β)-f(xo,Jo)存在，则称此极限为函数lim1-→0+f（x,J）在点P,沿方向l的方向导数，af,- im (x, +tcosa, yo + rcos P)- f(xo yo)2即(xo.Jo)al1→0+001018福个不高教学教学部不不不

高等数学教学部 3 ( 0). cos cos 0 0         t y y t x x t   o y x l P(x, y) x y  ( , ) 0 0 0 P x y t  

Caf方向导数说明就是函数f（x,y）在点P(x,y)沿方向/的all(xo,Jo)变化率。若函数f(x,y）在点P(xo,y)的偏导数存在，且é,=(1,0)，则qaf(xo +1, yo)- f(xo, o) = f. (xo, yo). = limXo.Vt→0+t若函数f(x,）在点P,(xo,y)的偏导数存在，且é,=(0,l)，则aff(xo,J +t)- f(xo, yo) = f,(xo,yo). = limalo.yo1->0+t反之不成立．例如函数z=x2+y2，在点O(0,0)，沿l=i方向,aft-0f(0 +t,0)- f(0,0) = limlim=11(0,0)alt->0+t-→>0+Tt可[Ax / -0f(0 + △x,0) - f(0,0)lim: lim不存在二(0,0)axAxAxAr-→0Ar-→>0001018个不不高等数学教学部不不

高等数学教学部 4 ( , ). ( , ) ( , ) | lim 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y t f x t y f x y l f x t x y         ( , ). ( , ) ( , ) | lim 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y t f x y t f x y l f y t x y         1, 0 lim (0 ,0) (0,0) | lim 0 0 (0,0)             t t t f t f l f t t , | | 0 lim (0 ,0) (0,0) | lim 0 0 (0,0) x x x f x f x f x x               

S2、判定定理定理如果函数z= f(x,y)在点 P(x,y)可微分，那末函数在该点沿1任意方向1的方向导数都存在，且有JafP(x,y)al laoo= f.(xo.yo)cosa+ J,(xo, o)cos β.AyB其中cosα、cosβ为方向l的方向余弦AraP.(xo,Jo)证由于函数可微，则xf(x, +Ax, yo +Ay)- f(xo,yo)0= f(xo, yo)Ar + fr(xo,yo)Ay +o(/(Ar)* +(Ay)°)因点(x, +△x,y+Ay)在射线 I 上，△x=tcosα,Ay = tcos β，则f(x + Ax, yo +Ay) - f(xo,yo)lim→0+to(t)= limlf,(xo,yo)cosα + f,(xo,yo)cosβ+= fr(xo,yo)cosα + f,(xo,yo)cos β0008不不不高等数学教学部不不不

高等数学教学部 5 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x  x y  y  f x y ( , ) ( , ) ( ( ) ( ) ) 2 2 0 0 0 0 f x y x f x y y o x y  x   x      t f x x y y f x y t ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0        ] ( ) lim[ ( , )cos ( , )cos 0 0 0 0 0 t o t f x y f x y x x t        ( , )cos ( , )cos .  f x x0 y0   f y x0 y0  o y x l P(x, y) x y  ( , ) 0 0 0 P x y t  

例 1 求函数z = xe2在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点0(2,-1)的方向的方向导数解: PQ =(1,-1),:. cos α =,cosβ=V22OzOz=e?y= 2xe2y=1,而=2,(1,0)oyl1.0)(1,0)axl(1,0)V2zaz.Oz所求方向导数cosβcosα+2I(1,0)(1.0)1(1,0)alaxay008不不不高数学教学部不不不

高等数学教学部 6 PQ  (1,1), , 2 1 ,cos 2 1 cos     1, (1,0) 2 (1,0)     y e x z 2 2, (1,0) 2 (1,0)     y xe y z | (1,0) | (1,0) cos | (1,0) cos y z x z l z         . 2 2  

对于三元函数u=f(x,y,z)，它在空间一点P(xo,Jo,zo)沿着方向e,=(cosα,cos β,cosy)的方向导数，可定义为af- lim (x, + tcosa, , +t cos β,z + cosn)- f(xo, Jo,za)l(xo,Jo,z0)al1-→0+同样地，如果函数f(x,y,z)在点P,(xo,Jo,z)可微分，那末函数在该点沿任意方向é,=(cosα,cosβ,cosy)的方向导数都存在，且有aflho,ozo)= f.(xo, yo,zo)cosa + f,(xo, yo,zo)cos β + f.(xo, yo,zo)cosy.al00018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 7 ( , , ) 0 0 0 | x y z l f   . ( cos , cos , cos ) ( , , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 t f x t y t z t f x y z t           | ( , , ) ( 0 , 0 , 0 )cos 0 0 0 f x y z l f x y z  x    f y (x0 , y0 ,z0 )cos ( , , )cos . 0 0 0 f x y z   z

例 2 设n是曲面2x2 +3y2 +z2=6 在点 P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u=(6x2+8y2)2在点P(1,1,1)处沿方向n的方向导数解 2x2 + 3y2 + z -6 = 0, n=(4x,6y,2z)lp =(4, 6, 2),231cosβ =cos = /14方向余弦为cosa=V1414Qu6x6Qu8y8=/14ayl,z/6x2 +8y2axpz6x2+8y2/14Qu6x2 +8y2- -~/14.z2OzlpQuQuQuQucosβ+cosycosaα+azaxanlpay001018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 8 P n  (4x,6 y,2z)|   (4, 6, 2), , 14 2 cos  , 14 3 cos  . 14 1 cos  P P z x y x x u 2 2 6 8 6     ; 14 6  P P z x y y y u 2 2 6 8 8     ; 14 8  P P z x y z u 2 2 2 6  8       14. P P z u y u x u n u ( cos cos cos )              . 7 11  2 3 6 0, 2 2 2 x  y  z  

?二、梯度1、梯度的定义定义设函数z= f(x,v)在平面区域 D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(xo,yo)e D，都可定出一个向量f(xo,y.)i+f,(x,,yo)j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(xo,y)的梯度，记为gradf(xo,yo)=Vf(xo, yo)= fr(xo,yo)i + f,(xo,yo)jad其中Vi称为（二维的）向量微分算子或Nabla 算子，axayafaf ivfayax001018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 9

C2、梯度与方向导数的关系如果函数f(x,y)在点P(xo,y)可微分，é,=(cosα,cosβ)是与方向l同向的单位向量，则af%/ lob)=f.(xo,Jo)cosa+ ,(xo,)cosβ= gradr(xo,yo)e,-lgradf(xo,yo)/·cos0, 其中 0 =(gradf(x, y),é,)afaf取到最大值，即(1)当 0=0 时,(co,o)-=I gradf(xo,yo)1.1(xa)alal函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向-致，而它的模为方向导数的最大值即函数在某点的梯度方向上取得最小方向导数，最小方向导数为梯度的模afaf取到最小值，即(2)当0 = 元时,au kob)=-I gradf(xo,yo)1(o,Val即函数在某点的梯度反方向上取得最小方向导数，最小方向导数为梯度的模的负值af“时，(3)当θ=lcso,)=0，函数在某点的梯度垂直方向上方向导数为 0.al200810个不高等教学教学部不不

高等数学教学部 10 | ( , ) ( 0 , 0 )cos ( 0 , 0 )cos 0 0 f x y f x y l f x y  x  y   l gradf x y e   ( , ) 0 0 | ( , )| cos ,  gradf x0 y0   ( ( , ), ). l gradf x y e    