《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章 多元函数微分学_0906多元函数微分学的几何应用

第九章多元函数微分法及其应用第六节多元函数微分学的几何应用一元向量值函数及其导数、空间曲线的切线与法平面三、空间曲面的切平面与法线0

第九章 多元函数微分法及其应用 第六节 多元函数微分学的几何应用

一元向量值函数及其导数1、一元向量值函数的定义[x=p(t) 3y=y(t), te[α,β].设空间曲线厂的参数方程为z= o(t)若记 r = xi + yj + zk, 于(t)= p(t)i +y(t)j+o(t)k则得到向量方程 r=F(t),t E[α,βl, 它确定了一个映射于:[α,β]→ R3.定义设数集DC R，则称映射f:D→R"为一元向量值函数，记为r= f(t),tεD，其中数集 D 称为函数的定义域，t为自变量，r为因变量.00l08中个不个高数学教学部不不不

高等数学教学部 2 , [ , ]. ( ) ( ) ( )               t z t y t x t r xi yj zk,        f (t) (t)i (t) j (t)k,         r  f (t),t [,],   :[ , ] . 3 f    R 

在R'中, 记r =OM = f(t)= fi(t)i + f,(t)j + f,(t)k,te D或r = OM = f(t) =(f(t), f,(t), f,(t),t e D.点 M的轨迹（记为I），称为向量值函数r= f(t),teD的终端曲线,也称为向量值函数r =f(t),tE D的图形，方程r =f(t),te D称为曲线I的向量方程My0X0008个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 3 r x M O y z

福2、一元向量值函数的极限定义 1 设向量值函数f(t)在点t,的某一去心邻域内有定义．如果存在常向量r，对于任意给定的正数ε，存在正数S，使当0to001018个不个高数学教学部不不不

高等数学教学部 4

定义设向量值函数f(t)在点t.的某一邻域内有定义如果对于该邻域内的点t.,t，lim f(t)= f(t,)，则称函数f(t)在点t,处连续定义 设向量值函数=「(t)在点t,的某一邻域内有定义．如果对于该邻域内的点to,t+t，有 lim △r = lim[f(t+△t)-f(t)}=0，则称函数At->0At「(t)在点t,处连续向量值函数f(t)=(fi(t),f,(t),f(t)在点t,连续的充分必要条件是它的三个分量函数f,(t),f,(t),f(t)在点t,均连续001018个不高等教学教学部不不不

高等数学教学部 5

63、一元向量值函数的导数定义 2 设向量值函数r=f(t)在点t,的某一邻域内有定义． 如果Ar于(t+AI)-T()存在，则称这个极限向量为向量值函数limlimAtN->0 NtN-0了-T(0)在点,处的导数或导向量 记作子(1)或“dt r=t设向量值函数π=f(t),tED，若D, C D，f(t)在D,中的每一点都存在导向量子(1) (或),则称子(1)在D,上可导.dt向量值函数F(t)=(f,(t),f,(t),fs(t))在点t,可导的充分必要条件是它的三个分量函数fi(t),f,(t),f,(t)在点t,均可导此时有 F'(t)=（ f<(t.), f’(t.), f'(t))001018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 6

设ü(t)、(t)是可导的向量值函数，℃为常向量，c为任一常数，β(t)是可导的数量函数，则(2) (cn) = cn;c=0;(1)dtdtd(4) *(ou) = pu + pn';(3)(u±)=ü±;一dtdt(S)(un) =u'+us';6)"(ux)=u'x+ux;dtdtd(7)u[p(t)l=u'lp(t)lp'(t)dt008个不不高尊数学教学部不不不

高等数学教学部 7 (1) C  0; dt d  (2) (cu) cu ; dt d     (3) (u v ) u v ; dt d          (4) ( u) u u ; dt d           (5) (uv ) u v uv ; dt d           (6) (u v ) u v u v ; dt d             (7) u[ (t)] u [ (t)] (t). dt d       

MZ几何意义设空间曲线是向量值函f'(t)数r=(t),tED的终端曲线， 向量NOM = f(t), ON = f(t. +△t), 如图0yx了(t,+ )-(t)在几何上表示向量值Ar导向量于'(t,）=limlimNtN->0M->0At函数r = f(t)的终端曲线在点t,处的一个切向量，其指向与t的增长方向一致.若向量值函数r=f(t)是沿空间光滑曲线运动的质点M的位置向量，drd'r则=,a=dt?dt8008个个个高等数学教学部

高等数学教学部 8 x y z M N O ( ) 0 f  t 

例 1 设空间曲线I的向量方程为r = f(t)=(t2 +1,4t-3,2t2-6t),求曲线厂在t=2处的单位切向量解 : '(t) =(2t,4,4t -6), F'(2)=(4,4,2),所求单位切向量为 ±=(4,4,2), 即 ±=(2,2,1)36例2一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而沿位置向量r=f(t)=3cost.i+3sint.j+t2k的路径螺旋式向上，求（1）滑翔机的速度向量和加速度向量；(2）滑翔机的速率;（3）滑翔机的加速度与速度正交的时刻解 (l) r=F(t)=3cost.i+3sint.j+t'k,.:. v = f'(t)=-3sint.i +3cost.j + 2tk,a = f"(t)=-3cost.i -3sint.j+2k.(2)=~9+4t(3) i.a= 4t = 0= t = 0.0008中个不高教学教学部不不不

高等数学教学部 9 f (t)  (2t,4,4t  6),   f (2)  (4,4,2),  (4,4,2), 6 1  (2,2,1). 3 1  (1) ( ) 3cos 3sin , 2 r f t t i t j t k            v f (t) 3sint i 3cost j 2tk,               a f (t) 3cost i 3sint j 2k.              (2) 9 4 . 2 v   t  (3) v  a  4t  0  t  0.  

二、空间曲线的切线与法平面1、参数方程的情形[x= p(t)设空间曲线厂的参数方程为R y=y(t), te[α,βl,(z = o(t)这里假定上式中的三个函数可导，且导数不全为零设曲线「上一点M(x,y,z)对应的参数为t，由向量值函数的导向量的几何意义知，曲线在点M处的一个切向量为T =(p'(t),y'(to),o'(to),x-xo-y-yo-z-zo从而曲线I在点M处的切线方程为p'(t)y'(to)o'(t)通过点M且与切线垂直的平面称为曲线I在点M处的法平面p'(t )(x -x)+y'(t)(y - yo) +'(t.)(z - zo) = 0.法平面方程为00810个不高教学教学部不不不

高等数学教学部 10 , [ , ], ( ) ( ) ( )               t z t y t x t . 0 0 0 x x y y z  z     ( ) 0  t ( ) 0  t ( ) 0  t ( ( ), ( ), ( )), 0 0 0 T   t  t  t  ( )( ) 0 x x0  t  ( )( ) 0 0  t y  y ( )( ) 0.  t0 z  z0 