《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章 曲线积分与曲面积分_1104对面积的曲面积分

曲线积分与曲面积分第十一章第四节对面积的曲面积分对面积的曲面积分的概念与性质对面积的曲面积分的计算法0

第十一章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分

对面积的曲面积分的概念与性质1、引例曲面形构件的质量设有一曲面形构件Z，其面积为 S，面密度为连续函数μ=μ(x,,z),下面计算这构件的质量(1)分割将Z任意分成 n 个小曲面△S,(i=1,2,,n)，△S,表示小曲面的面积同时也表示小曲面本身(2)作近似 任取一点(i,ni,S,)E △S,令 Am, ~ μ(5i,n;,5,).AS, (i=1,2,..,n),Zu(51,,5)-AS,(3) 求和 m~i=1取极限(4)用元表示n 个小曲面的最大直径，取极限可得nZu(5i,ni5)As,.m = lim2-0i-1001018心个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 2 ( , , ) ,  i i  i  Si ( , , ) , mi i i i Si       (i  1,2,,n), ( , , ) , 1    n i m   i i  i Si

62、对面积的曲面积分的概念与性质定义 1设为光滑（或分片光滑）曲面，函数f(x,y,z)在>上有界将Z任意分成 n 个小曲面△S，(i=1,2,,n).设第 i 个小曲面的面积为△S，又5i,niS)为第i个小曲面上任意取定的一点，作乘积Zf(5i,n;,5,)AS,. 如果当各小f(5,,ni,S,)AS, (i =1,2,..,n),并作和1-1曲面的直径的最大值几一→0时，这和的极限总存在，则称此极限为f(x,J,z)在曲面Z上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为J f(x, y,z)ds = lim Z f(5,n,5.)AS,2-0i=1T其中f(x,y,z)叫做被积函数，Z叫做积分曲面000个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 3 ( , , ) lim ( , , ) , 1  0   n i i i i Si f x y z dS f      

光滑（或分片光滑）曲面上的连续函数必可积积分存在定理说明所谓曲面是光滑的，即曲面上各点处都有切平面，且当点在曲面上连续移动时，切平面也连续移动m= JJ u(x,y,z)ds前述曲面形构件的质量为001018不不不高等数学教学部不不个

高等数学教学部 4 ( , , ) .    m  x y z dS

福3、对面积的曲面积分的性质性质 1°（线性）设α、β为常数，则[ [of(x, y,z)+ βg(x, y,z)]dS= α [[ f(x, y,z)ds + β[[ g(x, y,z)ds.[flf(x, y,z) + g(x, y,z)]ds推论(1)Z= JJ f(x, y,z)ds + J g(x, y,z)ds.(2)]f of (x, y,z)ds = α [[ f(x, y,z)ds性质 2° （可加性）若积分曲面>可分为两段光滑曲线弧,和，，则[[ f(x, y,z)ds = [] f(x, y,z)dS + [[ f(x, y,z)ds.008个个个高数学教学部不不个

高等数学教学部 5    [f (x, y,z) g(x, y,z)]dS ( , , ) ( , , ) ( , , ) . 1 2         f x y z dS f x y z dS f x y z dS ( , , ) ( , , ) .        f x y z dS  g x y z dS    [ f (x, y,z) g(x, y,z)]dS ( , , ) ( , , ) .       f x y z dS g x y z dS (2) ( , , ) ( , , ) .      f x y z dS  f x y z dS

性质 3°(次序性）设在上f(x,y,z)≤g(x,y,z)，则JJ f(x, y,z)ds ≤ JJ g(x, y,z)ds.1IJ] f(x, y,z)ds ≤ [j f(x, y,z)| ds.推论(1)JJ f(x, ,z)ds ≥ 0.(2)LJJds =(Z的面积)性质 4°008个个个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 6 ( , , ) ( , , ) .      f x y z dS g x y z dS | ( , , ) | | ( , , )| .      f x y z dS f x y z dS   dS ( , , )  0.   f x y z dS

S4、对称定理对称定理 1设积分曲面Z关于xy面对称，而以xy面将分割后其中的一半记为2，，则[2]] f(x, y,z)dsSf(x,y,-z) = f(x,y,z)[[ f(x, y,z)ds =0Af(x, y,-z)=-f(x, y,z对称定理 1"设积分曲面关于z面对称，而以面将分割后其中的一半记为2，则[2]J (x,y,z)ds(-x,y,2)= f(x,y,z)[J f(x, y,z)ds =0Af(-x,y,z)=-f(x, y,z)对称定理 1"设积分曲面Z关于面对称，而以戎面将Z分割后其中的一半记为2，则[2]] f(x,y,z)dsf(x,-y,z)= f(x,y,z)[J f(x, y,z)dS =0f(x,-y,z)=-f(x, y,z)0008个不不高等数学教学部不不不

高等数学教学部 7 . 0 ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1             f x y z f x y z f x y z dS f x y z f x y z f x y z dS   . 0 ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1             f x y z f x y z f x y z dS f x y z f x y z f x y z dS   . 0 ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1             f x y z f x y z f x y z dS f x y z f x y z f x y z dS  

S对称定理 2设积分曲面>关于平面 y=x 对称，而以平面 y=x 将Z分割后其中的一半记为，则[2]] f(x, y,z)ds f(x,y,z)= f(y,x,z)JJ f(x,y,z)ds =-0f(x,y,z)=-f(y,x,z)对称定理2设积分曲面Z关于平面 z=对称，而以平面 z=" 将分割后其中的一半记为2,，则[2]] f(x, y,z)dsf(x,y,z) = f(x,z,y)[[ f(x, y,z)ds =0Sf(x,y,z)= -f(x,z,y)对称定理2”设积分曲面Z关于平面x-z对称，而以平面x=z将分割后其中的一半记为,，则[2J] f(x, y,z)dsf(x, y,z)= f(z,y,x)JJ f(x,y,z)ds =0f(x, y,z)=-f(z,y,x)001018不不不高尊数学教学部不不不

高等数学教学部 8 . 0 ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1           f x y z f y x z f x y z dS f x y z f y x z f x y z dS   . 0 ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1           f x y z f x z y f x y z dS f x y z f x z y f x y z dS   . 0 ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1           f x y z f z y x f x y z dS f x y z f z y x f x y z dS  

对称定理2”设积分曲面Z关于平面 y=x、z=y、x=z均对称，则(1) JJ f(x,y,z)ds = J f(y,z,x)ds = JJ f(z,x,y)ds.(2) JJ g(x)ds = JJ g(y)ds = JJ g(z)ds.0008个不个高等数学教学部不不个

高等数学教学部 9 (1) ( , , ) ( , , ) ( , , ) .         f x y z dS f y z x dS f z x y dS (2) ( ) ( ) ( ) .         g x dS g y dS g z dS

?一、对面积的曲面积分的计算法定理 3设积分曲面Z方程为z=z（x,)，≥在 x面上的投影区域为D，其中z=z(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，被积函数f(x,,z)在Z上连续，则曲线积分「f(x,y,z)ds存在，且[[ f(x, y,z)ds = [[ f[x, y,z(x, y)] /1+ z +z,dxdyD2Z证设积分曲面Z由方程z=z(x,y)E: z = z(x,y)给出，D为Z在xOy面上的投影区域，函AS,数f(x,y,z)在D上具有连续偏导数(5,ni,S)J f(x, ,z)ds = lim Z f(5i,ni,5,)AS,y01-0i=1F(si,ni0)Dxy(A,)x)x00810个个个高等数学教学部不不个

高等数学教学部 10 ( , , ) [ , , ( , )] 1 . 2 2      Dxy f x y z dS f x y z x y z x z ydxdy  ( , , ) lim ( , , ) , 1  0   n i i i i Si f x y z dS f       i xy ( ) ( , ,0)  i i Si x y z Dxy  :z  z(x, y) O ( , , )  i i  i