《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章 多元函数微分学_0909本章小结

第九章多元函数微分法及其应用本章小结本章主要内容例题分析三、 习题08

第九章 多元函数微分法及其应用 本章小结 一、本章主要内容 二、例题分析 三、习题

一、本章主要内容1、多元函数的极限和连续(1）二元函数极限的定义、计算；(2）二元函数连续的定义、性质2、偏导数和全微分(1）二元函数偏导数的定义；(2）二元函数全微分的定义、性质、计算公式、运算法则；（3）多元复合函数求导法则；(4）隐函数求导法；(5)会计算偏导数eo中个个个高等数学教学部不不个

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3、应用(1)空间曲线的切线、法平面方程(切向量);(2)空间曲面的切平面、法线方程(法向量);(3多元函数极值的定义、判定定理：(4)多元函数最值的计算；(5)拉格朗日乘数法，条件极值的计算福008个个个高等数学教学部不不个

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二、 例题分析例 1 求极限：sin(x + y)lim(1)x2 + y?(x,y)→(0,0)y? In(x? + y');lim(2)(x,)-→(0,0)tan(xy)lim(3)(x,y)→(0,2)xxsinxlim(4)(1 +(x,y)→(+00,+00)xy0008个个个高等数学教学部个不个

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例2求偏导数和全微分(1) 设u=f(x,y,z)，f 具有一阶连续偏导数，而z=z(x,y)是由方QuQu程x2+ y2+z+e"=1确定的隐函数，求ax'ayOz Oz(2) 设z=u2 Inv, 而u= ±, v=3x-2y, 求ax'ay(3)若x2 + y2 +z2-4z=0,求dz;az(4) 设函数z=z(x,y)由方程f(x+y+z)=z确定，求axo°zz(5）设 z-(x+y,xy)，其中具有二阶连续偏导数，求ax'axdy(6) 函数z= f(x,y)在点(1,1)处可微， f(1,1)=1， f'(1,1l)=2,(1,1)=3, 0(x)= I(x,F(x,x),求"p(x) lx-1dx001018个不高教学教学部不不不

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C例3应用(1)求曲线x = 2t2,y=e°-1,z=Int在 t-1 对应的点处的切线方程、法平面方程；x?+y2平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程;(2) 求曲面z =2(3）过点(1,2,1)的平面与三坐标轴的正半轴相交，该平面与三坐标平面围成的体积最小时，求该平面方程；(4）某厂要用铁板做一个体积为2m2的无盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？例4抛物面z=x2+被平面x++z=1截成一椭圆,求此椭圆上的点到原点距离的最大值例 5 证明不等式ab~c≤108(a+b+c),其中a>0,b>≥0,c>0.6C001018中个不个高等数学教学部不不个

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例 1 求极限：sin(x* + y°)lim(1)x?+y?(x,J)→(0,0)limy2 In(x2 + y2);(2)(x,y)→(0,0)tan(xy)lim(3)(x,)-→(0,2)xxsinxlim(4)(1 +(x,y)→>(+00,+00)xy0008个个个高等数学教学部

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C解()lim(x,)-(0,0)x2 + y2(x+ y)(x? -xy+ y")lim-x?+ y?(x,y)-→(0,0)x?- xy+ y因(x,y)→(0,0)时，x+是无穷小,是有界函数，x?+ y?sin(x +y)-0.(x+ y)(x - x+y) = 0, limlimx*+y?x? +y?(x,y)→(0,0)(x,y)-→(0,0)x'+y3sin(x + y')lim-lim解二 (1)x?+y?(x,)(0,0) x2 + y(x,)→(0,0)x3y3lim lim+(x,y)-(0,0) x2 + y(x,j)→(0,0) x2 + yx?y?limlim2=0.x?+y?x?+y(x,)→(0,0)(x,J)→(0,0)000个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 8 2 2 3 3 ( , ) (0,0) sin( ) (1) lim x y x y x y    2 2 3 3 ( , ) (0,0) lim x y x y x y     , ( )( ) lim 2 2 2 2 ( , ) (0,0) x y x y x xy y x y       0, ( )( ) lim 2 2 2 2 ( , ) (0,0)        x y x y x xy y x y 0. sin( ) lim 2 2 3 3 ( , ) (0,0)     x y x y x y 2 2 3 3 ( , ) (0,0) sin( ) (1) lim x y x y x y    2 2 3 3 ( , ) (0,0) lim x y x y x y     2 2 3 ( , ) (0,0) lim x y x x y    2 2 3 ( , ) (0,0) lim x y y x y    2 2 2 ( , ) (0,0) lim x y x x x y     2 2 2 ( , ) (0,0) lim x y y y x y      0

Clim y" In(x? + y)(2)(x,)→(0.0): 0 ≤ y2 In(x2 + y2)/ y2 In(y2)/ →0 ((x, y) →(0,0),lim y2 In(x + y2) = 0lim / y2 In(x2 + y)l= 0,xy)→(0,0(x,)→(0,0)7解二lim y2 In(x2 + y") = lim(x? + y')In(x? + y2)(p(0.0) x* + y2 ((x,)→(0.0)= 0.tan(xy)xylimlimlim(3)=2.y(x,y)→(0,2)x(x,)-(0,2) x(x,j)-→(0,2)11.xsinxxy-xsinxlim(1+(4)xylim(1 +一(x,y) →(+00,+00)xy(x,y)-→(+0,+00)xysinx1xy1lim(1 +==eo =1(x,y)→(+00,+00)xy008个不个高尊数学教学部不不不

高等数学教学部 9 x x xy xy x y xy sin 1 ( , ) ( , ) ) 1 lim (1        y x xy x y xy sin ( , ) ( , ) ) 1 lim (1       1. 0  e  0 | ln( )| | ln( )| 2 2 2 2 2   y x  y  y y  0 ((x, y)  (0,0)), lim | ln( )| 0, 2 2 2 ( , ) (0,0)     y x y x y lim ln( ) 0. 2 2 2 ( , ) (0,0)    y x y x y  0

例2求偏导数和全微分(1) 设u= f(x,y,z)，f具有一阶连续偏导数，而z=z(x,y)是由Qu Qu方程x2+y2+z+e~=1确定的隐函数，求axayOz Oz(2) 设z=u lnv, 而u=*, v=3x-2y, 求ax'ay(3) 若x2 + y2 +z2-4z= 0, 求dz;80(4) 设函数z=z(x,)由方程f(x++z)=z确定，求Oza'z(5)设 z-f(x+y,xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求ax'axay(6) 函数z= f(x,y)在点(1,1)处可微，f(1,l)=1， f'(1,l)=2,(1,1)=3, 0(X)=I(x,F(x,x),求p (x) /x-1dx00810个不不高教学教学部不不不

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