《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 向量代数与空间解析几何_8.3平面

8.3 平面方程

8.3 平面方程

平面及其方程·平面的点法式方程·平面的一般方程·两平面的夹角

平面及其方程 • 平面的点法式方程 • 平面的一般方程 • 两平面的夹角

平面的点法式方程设一平面通过已知点 M。(xo,yo,zo)且垂直于非零向量=ARM求该平面口的方程0Vx我们称r为平面P 的法向量

• 平面的点法式方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向量 求该平面￾ 的方程. 我们称 为平面 的法向量

n=(A, B,C)任取点 M(x,y,z)i P，则有runMMAnMoyo,20)un rMMm=0yuuuum(x- xo,y- yo,z- zZoMM点法式方程A(x- x)+B(- yo)+C(z- zo)=0称r为平面P 的法向量

称 为平面 的法向量. 任取点 则有 点法式方程

rｒr例1.求过点 M(2,1,1)，且垂直于向量i+2i-3的平面的方程1的法向量为解：取该平面口r r r r=(1,2,-3)=i+2i-31QM,IP，利用点法式得平面的方程口1(x- 2)+2(y- 1)- 3(z- 1)=0即 x+2y-3z-1=0

例1.求过点 即 解: 取该平面￾ 的法向量为 的平面 ￾ 的方程. 利用点法式得平面 ￾ 的方程 且垂直于向量

例2. 求过三点M(2-1,4),M(-1,3,-2) M(0,2,3)的平面的方程的法向量为解：取该平面口ruuruuurMM MMMrrrk1j4-6-33-2-1r=14i +9 i+(- D)k=(149 - 1)

例2.求过三点 解: 取该平面￾ 的法向量为 的平面 ￾ 的方程

QM,iP，利用点法式得平面的方程口14(x- 2)+9(y+1)- (z- 4) =0即14x + 9y- z - 15 = 0LLILILIULILLILILAMMn=M,M此平面的方程也可写成：1IIik1x- 2 y+l z- 4-6-3A-34.-6=013-232-1=14i +9j+(-1)k

即 利用点法式得平面 ￾ 的方程 此平面的方程也可写成：

平面的三点式方程：过三点 M,(x,yk,z) (k=1,2,3)的平面方程为：x- Xz-y- yiZ三点式方程:0X2 - XiY2 - iZ2 -Z1X - XiY3 - JiZ3-Zi

过三点 的平面方程为： • 平面的三点式方程: 三点式方程

小结·平面的点法式方程：M(xo,o,zo)i P，n=(A,B,C),A(x- x)+B(y- yo)+C(z- zo)=0·平面的三点式方程：M,(x,,z）（k=1,2,3)X- Xiz - Z1Jy-yi=0X2 - XJ2 - yiZ2 - Z1xg - xiY3 - yiZ3 - Z1

小结 • 平面的点法式方程: • 平面的三点式方程:

平面的一般方程由平面的点法式方程A(x x) B(y y) C(zz)010AxByCz(Ax, By。Czo)(A? +B2 +C2 1 0)Ax + By + Cz + D = 0平面的一般方程法向量:n=(A,B,C)

由平面的点法式方程 法向量： • 平面的一般方程 平面的一般方程