《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数_D12_3幂级数

第十二章第三节幂级数函数项级数的概念、二、幂级数及其收敛性三、 霜幂级数的运算HIGH EDUCATION PRESS

第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第十二章

函数项级数的概念一、设un(x)(n =l,2,)为定义在区间I上的函数,称8Zun(x)=ui(x)+u2(x)+...+un(x)+..n=1为定义在区间I上的函数项级数8对 xoEI，若常数项级数un(xo)收敛,称xo为其收>1n=l敛点所有收敛点的全体称为其收敛域8>1若常数项级数un（xo）发散，称xo为其发散点所有n=1发散点的全体称为其发散域HIGH EDUCATION PRESS

一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n =1,2, ) n 发散点的全体称为其发散域

在收敛域上，函数项级数的和是x的函数 S(x)，称它为级数的和函数，并写成8S(x)=un(x)n=l若用S,(x）表示函数项级数前n项的和，即nSn(x)=Uk (x)k=1令余项rn(x)= S(x)- Sn(x)则在收敛域上有lim rn(x) = 0lim Sn(x)= S(x),n00n->HIGH EDUCATION PRESS

为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它

n例如,Z函数项级数=1+x+x-X+n=0它的收敛域是（-1,1）,当xE(-1,1)时，有和函数Z-xn=0HIGHEDUCATION PRESS

例如 , 函数项级数 它的收敛域是 有和函数

幂级数及其收敛性、Zan(x-xo)n形如4n=0+ ...+an(x-xo)=ao +ai(x - xo)+a(x - xo)的函数项级数称为幂级数Xo=0 时Znra=ao + ajx +a2x-+·n=0HIGH EDUCATION PRESS

二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 时

8thZ若幂级数定理1（Abel定理）an=0在 x= xo点收敛,则对满足不等式|x||xo|的一切x，该幂级数也发散证：设anx 收敛,则必有 lim anx =0,于是存在n80n=0n常数 M>0,使≤M(n=1,2,...)anxo收敛发散发散x发散收0敛HIGH EDUCATION PRESS

发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散 定理 1 ( Abel定理 ) 若幂级数   n=0 n n a x 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使

1n+夕xV≤ManrnMnxoXo8ZantnM二收敛，>也收敛当x|xo「且使级数收敛，则由前级数在点 x。也应收敛面的证明可知与所设矛盾故假设不真所以若当 x= xo时幂级数发散，则对一切满足不等式|x>xo|的x，原幂级数也发散证毕HIGH EDUCATION PRESS

当 x  x0 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 0 x = x 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 1 x 1 0 x  x 0 x 满足不等式 0 x  x 所以若当 0 x = x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 =  证毕

8Zanx"的收敛域是以原点为由Abel定理可以看出n=0中心的区间则用土R表示幂级数收敛与发散的分界点R=0时,幕级数仅在x=0收敛：R= 80 时,幂级数在（-00,+o0)收敛O<R<0，幂级数在（-R,R）收敛;在［-R,R]外发散；在x=土R可能收敛也可能发散R称为收敛半径，（-R，R）称为收敛区间（-R，R）加上收敛的端点称为收敛域HIGH EDUCATION PRESS

幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出,   n=0 n n a x 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R =  时, 0  R   , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散; 在 x = R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间

8n+l若Z的系数满足lim定理2=P, 则antn0ann=0R=1)当p0 时,2)当p =0 时, R=;3)当p =oo时,R=0an+1xn+1an+l证：lim= lim|x|=p|xhthn-→00nQn则根据比值审敛法可知1)若p0,当plx1,即|x|>时，原级数发散HIGH EDUCATION PRESS

x a a a x a x n n n n n n n n =  + → + + → 1 1 1 lim lim 定理2 若 的系数满足 1 ;  R = R =  ; R = 0 . 证: 1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当  x 1, 原级数收敛; 当  x 1, 原级数发散. 即  1 x  时, 1) 当 ≠0 时, 2) 当 ＝0 时, 3) 当 ＝∞时, 即 时, 则  1 x 

因此级数的收敛半径R=2）若p=0,则根据比值审敛法可知，对任意x原级数绝对收敛,因此 R=80;3）若p=,则对除 x=0 以外的一切 x原级发散因此R=0说明：据此定理8ZthCnC的收敛半径为 R= limn-→0an=0n+1HIGH EDUCATION PRESS

2) 若  = 0, 则根据比值审敛法可知, 绝对收敛 , R =  ; 3) 若  = , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 , R = 0 . 对任意 x 原级数 因此 因此 的收敛半径为 说明:据此定理 1 lim + → = n n n a a R 因此级数的收敛半径 . 1  R =