《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数_D12_5幂级数的应用

第十二章第五节函数幕级数展开式的应用近似计算一二、欧拉公式HIGH EDUCATION PRESS

第五节 一、近似计算 二、欧拉公式 函数幂级数展开式的应用 第十二章

一、近似计算精确到10-4例1.计算5/240的近似值，解: 5/240=5/243-3 =3(1-±)1.4.91.4111二2452 .2! 3853.3! 3121.4.9.141.4.931231654.4!1.43[++(G) <0.5×10-452.2!5/240 ~3(1 -～3-0.00741~2.99265HIGH EDUCATION PRESS

一、近似计算 + x = + mx + m (1 ) 1 + − 2 2! ( 1) x m m   + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) (−1  x  1) 例1. 计算 5 240 10 . −4     r2 = 3 2 8 3 1 5 2! 1 4    3 12 3 1 5 3! 1 4 9     +  +     + 4 16 3 1 5 4! 1 4 9 14    81 8 1 1 1 3 1 25 6 − =   ) 3 1 5 1 240 3(1 4 5   −   3− 0.00741  2.9926 的近似值, 精确到    +      + +         2 2 8 81 1 81 1 1 3 1 5 2! 1 4 3 4 0.5 10−   3 1   = 4 3 1 5 1 −  2 8 3 1 5 2! 1 4    −  −    − 3 12 3 1 5 3! 1 4 9 解: 5 5 240 = 243−3 5 1 4 3(1 ) 3 1 = −   

直,使准确到10-4例2. 计算 ln2 的近似值解：已知ln(1+x) = x(-1<x≤1)ln(1-x)= -x(-1≤x<1)N21+ x故= In(1 + x)- ln(1 - x)In1-x(-1<x<1)1+x=2得x=今于是有3L-xln2= 2HIGH EDUCATION PRESS

( 1 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4  − = − − − − − −  x  x x x x x  例2. 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 10 . −4 解: 已知 故 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 令 2 1 1 = − + x x 得       = +  3 +  5 +  7 + 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2 , 3 1 x = 于是有

在上述展开式中取前四项11(1++()2<0.2 ×10-478732In2~+:37~ 0.6931*535+HIGH EDUCATION PRESS

4 9 3 1 9 1 2     r =        11 + + ) 2 + 9 1 ( 9 1 1 3 2 9 11 1 1 1 3 2 − =          +  +  +  3 5 7 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2  0.6931 11 3 1 11 1 +     +  13 + 3 1 13 1 9 4 3 1  = 4 0.2 10 78732 1 − =   在上述展开式中取前四项

T求sin9°的近似值，并估计例3.利用sinx ~ x-3!误差元元(弧度)解：先把角度化为弧度XC9920180元()+(2)-(20sin2020<=×10-50.2120元元sin~0.157080-0.00064620~20-3(20)～ 0.1564310-5误差不超过HIGH EDUCATION PRESS

 = − 3 + 5 − ) 7 + 20 ( 7! 1 ) 20 ( 5! 1 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin      例3. 利用 求 误差. 解: 先把角度化为弧度 9 = (弧度) 5 2 ) 20 ( 5! 1  r  5 (0.2) 120 1  5 10 3 1 −   3! sin 3 x x = x − 5! 5 x + 7! 7 x − +  0.157080 − 0.000646 3 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin      − 误差不超过 5 10− 的近似值 , 并估计  0.15643

X2元-dx精确到10例4.计算积分的近似值O1元J0（取卡～0.56419)o解：3!1!2!2n8xZ(-1)n18ΛxΛ+8n!n=02n8Z(-1)"2120?dxdxTn!n=08(-1)n2J1S222ndxn!(2n +l) 22n+101n=0江HIGH EDUCATION PRESS

( 取 例4. 计算积分 的近似值, 精确到 0.56419) 1   解: 1 2 = −x e ! ( 1) 2 0 n x n n n   = = − (−  x  +) e x x d 2 2 2 1 0 −   dx 2 2 1 0      =  ! ( 1) 2 0 n x n n n   = −   = − = 0 ! 2 ( 1) n n  n x x n d 2 0 2 1  1! ( ) 2 −x + 2! ( ) 2 2 −x + + − + 3! ( ) 2 3 x   =  − = 0 ! 2 ( 1) n n  n 2 1 2 1 n+ (2n +1)

Xdx:26.7.3!24.5.21104>n≥4取n=4,则所求积分近似值为.e-x26.7.3!24.5.2!~ 0.5205HIGH EDUCATION PRESS

( ) 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6   −   +   −   e −x dx = 2 2 1 0 2          +   −   +  = −  2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6  n n n n r 2 !(2 1) 2 1 1 +    4 10−  2 4  !(2 +1) 2 10 n 则 n 应满足  n n e x x d 2 2 1 2 0  −  则所求积分近似值为 欲使截断误差  0.5205

lsinx例5.计算积分精确到10-4dx的近似值0xsinx解：由于lim故所给积分不是广义积分xx0若定义被积函数在x=0处的值为1，则它在积分区间上连续，且有幂级数展开式sinx31(2n + 1)!0x(-1)nsinxdx3.31(2n + 1) ·(2n +1)!<0.3×10-47.7!35280~1-0.05556 +0.00167 ~ 0.9461HIGH EDUCATION PRESS

例5. 计算积分 的近似值, 精确到 解: 由于 1, sin lim 0 = → x x x 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间  + + = − + − + + − (2 1)! ( 1) 3! 5! 7! 1 sin 2 4 6 2 n x x x x x x n n x x x d 1sin 0  =1 −  + 5 5! 1  + +  + − + (2 1) (2 1)! ( 1) n n n r3  1− 0.05556 + 0.00167 上连续, 且有幂级数展开式 :  0.9461

二、欧拉(Euler）公式8对复数项级数Z(un +ivn)1n=le88若之Vn=v,则称①收敛，且其和为u+ivun=u,n=1n=l88Z收敛,若u?=1则称①un +ivn绝对收敛+vn=1n=1故知[un|≤/un? +vn?, I vnl≤/un? +vn由于888Z！Zvn 绝对收敛Z(un +ivn)绝对收敛un?n=ln=1n=l8Z(（un+iVn）收敛n=1HIGHEDUCATION PRESS

二、欧拉(Euler)公式 则称 ① 收敛 , 且其和为 ( ) 1 n n n  u + i v  = 绝对收敛 , 1   n= n u ( ) 1 n n n  u + i v  = 收敛 . , 1 u u n  n =  = , 1 v v n  n =  = 若 n n n  u + i v  =1 u + i v. 2 2 1 n n n =  u +v  = 收敛, 若 对复数项级数 , 2 2 n n n u  u + v 2 2 n n n v  u + v ①   n=1 n v 绝对收敛 则称 ① 绝对收敛. 由于 , 故知

的指数函数为定义：复变量z=x+iy(z<8)On易证它在整个复平面上绝对收敛当=O时，它与实指数函数e×的幂级数展式一致当x=0时,eiy =l+iy+(-1)n-1.n-(2n-1)=cos y+i sin1HIGH EDUCATION PRESS

定义: 复变量 的指数函数为 易证它在整个复平面上绝对收敛 . 当 y = 0 时, 它与实指数函数 x e 当 x = 0 时, i y = + + + ++ i y n + n e i y i y i y ( ) ! 1 ( ) 3! 1 ( ) 2! 1 1 2 3    + −  − + − +   =  n  n y n y y 2 4 2 (2 )! ( 1) 4! 1 2! 1 1 = cos y +    + − −  − + − +   − −  2 1  1 3 5 (2 1)! ( 1) 5! 1 3! 1 n n y n y y y i sin y 的幂级数展式一致