《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数_D12_7傅立叶级数

第十二章第七节傅里叶级数三角级数及三角函数系的正交性一二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数HIGHEDUCATION PRESS

第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十二章 傅里叶级数

三角级数及三角函数系的正交性一、(谐波函数）简单的周期运动:y=Asin(のt+@(A为振幅,，①为角频率,β为初相E An sin(no t + Pn复杂的周期运动：y=Ao+n=l(谐波迭加)An sinPn cosnot+ An cosn sinn@tao今= A02, an = An sinPn, bn = An cosPn, のt=x8ao得函数项级数(an cosnx+bn sinnxk=l称上述形式的级数为三角级数HIGH EDUCATION PRESS

一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos  + n cosn sin  令 sin , an = An n cos , bn = An n 得函数项级数 ( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n k +  +  = 为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数

定理1组成三角级数的函数系1, cos x, sinx, cos 2x, sin2x, ..., cosnx, sinnx,..在[-元，元]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在一元，元上的积分等于0元(n=1,2,...)1.cosnxdx ={" 1 sinnxdx = 0证：一元元cos kx cos nx dx元[cos(k +n)x+cos(k -n)x]coskxcos nx =2" [cos(k +n)x+ cos(k -n)x Jdx= 0 (k ±n)元sinkxsinnxdx=O(k±n)同理可证：一元元coskx sinnxdx = 0一元HIGHEDUCATIONPRESS

cos(k n)x cos(k n)x d x 2 1 = + + − −   定理 1 组成三角级数的函数系 证:  −   1 cos nxd x =  −   1 sin nxd x = 0 cos kx cos nxdx −   = 0 sin sin d = 0 − kx nx x  同理可证  : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 cos sin d = 0 − kx nx x   (k  n )

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在「一元，元上的积分不等于0．且有元1.1dx = 2元元元cosnxdx=元元(n =1, 2, ...)元nxdx =元sin'元1 + cos2nx1 - cos2nxDsinCOSnx=nx=22HIGH EDUCATION PRESS

上的积分不等于 0 .    11d = 2 − x sin nxdx 2 −   cos n xdx 2 −   , 2 1 cos 2 cos2 nx nx + = 2 1 cos 2 sin2 nx nx − = 且有 =  =  但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在

函数展开成傅里叶级数二、定理2设f(x)是周期为2元的周期函数，且8f(x)=+)1√cosnx + bn sinnx)ann=l右端级数可逐项积分，则有(n = 0,1, ..)-f(x)cos nxdxan =["bn =1f(x)sinnxdx(n=1,2,.)-2证：由定理条件，对①在一元,元]逐项积分，得元元元元8adx+Z[ f(x)dx =cosnx dx +bnIsinnxdxa12n=一元元一元一元=ao元HIGH EDUCATION PRESS

二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = +  +  = 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件,     +    =  +     − − =1 − − 0 d cos d sin d 2 ( ) n n n x a nx x b nx x a f x dx         ① ② 对①在 逐项积分, 得

f(x)dx1·元docoskxdx +f(x)coskxdx -2元2元元coskxcosnxdx+bcoskx sinnx dx1ann元一元n元cos kxdx =akπ(利用正交性）ak元 f(x)cos kxdx(k=1,2,...)类似地，,用 sin k x乘①式两边,再逐项积分可得bk ==[" f(x)sin kxdx(k=1, 2, :.)HIGH EDUCATION PRESS

= +   − − kx x a f x kx x cos d 2 ( )cos d 0       =   + n 1 + − a kx nx x n cos cos d   b kx nx x n cos sin d −   a kx x k cos d 2 − =   a f x kx x k ( )cos d 1 −  =    ( k =1, 2, ) (利用正交性)   ( )sin d ( 1, 2, ) 1 =  =  − b f x kx x k k    a f (x)d x 1 0 −  =    类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得

8doZf(x)=an cosnx + bn sinnx2n=l元(n=0,1,...)f (x)cosnxd xn一元元元f(x)sinnxd x(n=1,2, ...)元由公式②确定的 an，bn称为函数f(x)的傅里叶系数； 以f(x)的傅里①称为叶系数为系数的三角级数f(x) 白的傅里叶级数傅里叶，J.-B.JHIGH EDUCATION PRESS

叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; ( )  = = + + 1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x − = =    ( )cos d ( 0,1, ) 1 an f x nx x n  由公式 ② 确定的 ① ② 以 − = =    ( )sin d ( 1, 2, ) 1 bn f x nx x n  的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数

定理3设f（x）是周期为2元的收敛定理，展开定理条件：周期函数，并满足狄利克雷Dirichlet1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2）在一个周期内只有有限个极值点注意：函数展成则f(x）的傅里叶级数收敛，且有傅里叶级数的条8件比展成幂级数%+?+Z(an cos nx +bn sinnx的条件低得多n=lx为连续点f(x),f(x)+ f(x)x为间断点2我利先#.2.0.1其中an,bn为f(x)的傅里叶系数.（证明略HIGHEDUCATIONPRESS

定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有     = f (x) , , 2 ( ) ( ) + − f x + f x x 为间断点 其中 an bn , 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 ) x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多

设f(x）是周期为2元的周期函数，它在【-元，元）例1上的表达式为-元≤x<0一1f(x)=1 1, 0≤x<元将f(x）展成傅里叶级数x解：先求傅里叶系数f(x)cos nxd x元(-1)cos nxd x +1.cosnxdx元J0元J一元(n=0,1,2,.:)HIGH EDUCATION PRESS

例1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为      − −   =   x x f x 1, 0 1, 0 ( ) 解: 先求傅里叶系数   = − +  −     0 0 1 cos d 1 ( 1)cos d 1 nx x nx x = 0 ( n = 0 ,1, 2 , ) 将 f (x) 展成傅里叶级数. o y x −1 − 1 

一f(x)sin nxd x一元元?1"1.sinnxdx(-l)sinnxd x +元J0一元电元cosnxcosnx1-cosn元YT元n元元D当n=1,3,5,...n元1-(-1n元当n=2,4,6,sin(2k -1)x + ...: f(x)=sin3xsinx +2k-1元—0<x<+0,×±0,±元,±2元，.HIGH EDUCATION PRESS

  = − +  −     0 0 1 sin d 1 ( 1)sin d 1 nx x nx x 0 1 cos  −     = n nx   0 1 cos   −   + n nx     n n 1 cos 2 = −   n n 1 ( 1) 2 = − −     = , 4 n 0 , 当n =1, 3 , 5 ,  当n = 2 , 4 , 6 ,   f x =  sin x + 4 ( )  sin 3x + 3 1  − + − + k x k sin(2 1) 2 1 1  (−  x  + , x  0 ,  ,  2 , )