《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 向量代数与空间解析几何_D8_5曲面方程

第八章第五节曲面及其方程曲面方程的概念一旋转曲面三、、柱面四、二次曲面HIGH EDUCATION PRESS机动返回结束自录上页下页

四、二次曲面 第五节 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面及其方程 第八章

一、曲面方程的概念F(x, y,z)= 0S两个基本问题：已知一曲面作为点的几何轨迹时1)求曲面方程已知方程时，研究它所表示的几何形状（必要时需作图HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

F ( x, y, z) = 0 S z y x o 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、曲面方程的概念

例1.求动点到定点距离为R的轨迹Mo(xo,yo,zo) i方程解：设轨迹上动点为 M(x,y,z),依题意M.M=R即xo)2 +(y- yo)? +(z-zo)2 = Rx-故所求方程为(x - Xo)2 +(y-yo)2 +(z - zo)2 = R2特别,当M.在原点时,球面方程为M.z-=R12-x-VIR-表示上(下)球面Z=±HIGH EDUCATION PRESS上页返回结束机动自录下页

故所求方程为 例1. 求动点到定点 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M M 0 表示上(下)球面 . x − x + y − y + z − z = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 ( x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R 2 2 2 2 x + y + z = R 机动 目录 上页 下页 返回 结束

研究方程 x2+2+z2-2x+4y=0表示怎样例2.的曲面。解：酉配方得(x -1)2 +(v+2)2 + z2 = 5此方程表示球心为 Mo(1,-2, 0)半径为5的球面说明：如下形式的三元二次方程（A≠0）A(x? + y? +z2)+ Dx+ Ey+ Fz+G= 0其图形可能是都可通过配方研究它的图形.一个球面，或点，或虚轨迹HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

例2. 研究方程 解: 配方得 5 (1, 2, 0 ), 此方程表示: M 0 − 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

旋转曲面二、绕其平面上一条定直线旋转定义2.一条平面曲线一周所形成的曲面叫做旋转曲面该定直线称为旋转轴例如：HIGHEDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

定义2. 一条平面曲线 二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束

建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程给定 yoz 面上曲线 C: f(y,z)=0若点 Mi(0,J1,z1) C,则有f(y1,21)= 0M,(0,y1,z)当绕z轴旋转时，该点转到M (x/y, =)M(x,y,2),则有故旋转曲面方程为f(± /x2 +y?,2)二HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 故旋转曲面方程为 M ( x, y, z) , 当绕 z 轴旋转时, ( , ) 0 f y1 z1 = (0, , ) , 若点 M 1 y1 z1  C 给定 yoz 面上曲线 C: ( 0 , , ) 1 1 1 M y z M ( x , y , z ) 1 2 2 1 z = z , x + y = y 则有 ( , ) 0 2 2 f  x + y z = 则有 该点转到 f ( y, z) = 0 o z y x C 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？C : f(y,z) = 0f(y, ± Vx? +72=HIGHEDUCATION PRESS机动返回结束自录上页下页

思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ C : f ( y , z) = 0 o y x z ( , ) 0 2 2 f y  x + z = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.试建立顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz面上直线L的方程为Lz=ycotaM (0, y,z)绕Z轴旋转时,圆锥面的方程为z=±/x*+y?cota令a=cotα两边平方=α?(x? +y?)HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 ( ) 2 2 2 2 z = a x + y x y z  两边平方 L M (0, y, z) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.求坐标面1分别绕xxoz上的双曲线轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程解：绕x轴旋转所成曲面方程为绕乙轴旋转所成曲面方程为这两种曲面都叫做旋转双曲面HIGHEDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

x y 例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + − c y z a x 绕 z 轴旋转 1 2 2 2 2 2 − = + c z a x y 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 z 机动 目录 上页 下页 返回 结束

柱面三、x? +y2 = R2引例.分析方程M表示怎样的曲面解:在 xoy面上，x2+y2=R2表示圆C,CMj在圆C上任取一点M,(x,y,0),过此点作平行z轴的直线l,对任意z，点M(x,y,z)的坐标也满足方程 x2+y2=R2沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面.其上所有点的坐标都满足此方程故在空间x? + y? = R?表示圆柱面HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

x y 三、柱面 z 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解:在 xoy 面上， 表示圆C, 2 2 2 x + y = R 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 2 2 2 x + y = R 过此点作 柱面. 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 表示圆柱面 C o 在圆C上任取一点 ( , ,0), 1 M x y l M M1 点 M ( x, y, z) 其上所有点的坐标都满足此方程, 机动 目录 上页 下页 返回 结束