《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章 多元函数微分学_0908多元函数的极值及其求法

第九章多元函数微分法及其应用第八节多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其最大值、最小值条件极值拉格朗日乘数法08

第九章 多元函数微分法及其应用 第八节 多元函数的极值及其求法

福引言设函数 f(x)在点x.的某邻域U(x.)内有定义．如果对于去心邻域U(x)内的任一点x，有f(x)f(x,))，则称f(x,)是函数fx)的一个极大值（或极小值）设函数f(x)在点x,处可导，且在x,处取得极值，那么f'(x）=0设函数f)在点x.处连续，且在x的某去心邻域Ux，S)内可导(1) 若xE(x, -S,x,)有 f(x)>0;而xe(x,,x,+)有 f'(x)0,则f(x）在x,处取得极小值(3) 如果当xe(x-S,x)及x(x,x,+S)时，f'(x)符号相同，则f(x)在x,处无极值001018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 2

（第二充分条件）设f(x)在x.处具有二阶导数，且 f'(x)=0f"(x,)±0，那么(1)当f"(x,)0时，函数f(x)在x,处取得极小值福0008个个个高等数学教学部

高等数学教学部 3

、多元函数的极值及其最大值、最小值1、极值的定义定义 设函数z= f(x,)的定义域为D，P(x,y)为 D 的内点．如果存在P.的某个邻域U(P)CD，使得对于该邻域内异于P的任何点(x,y)，都有 f(x,y)f(xo,y)，则称函数z=f(x,j)在点(x,Jo)有极小值，点(x,y)称为函数z= f(x,y)的极小值点极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点推广 设 n 元函数u=f(P)的定义域为 D，P,是 D 的内点。若存在P的某个邻域U(P)C D，使得该邻域内异于P的任何点 P，都有f(P) f(P))则称函数f（P)在点P有极大值（或极小值）f（P）001018个不不高尊数学教学部不不

高等数学教学部 4

例1 函数z=3x2+4在点(0,0)处有极小值zx(0,0) = 0,z,(0,0) = 0例 2函数 z=-x2+2在点(0,0)处有极大值/x2+02- 002 + y?不存在。，不存在,z,(0,0)=limz. (0,0) = limx-0y-0x-→0y-050008个个个高数学教学部不不个

高等数学教学部 5 (0,0)  0, (0,0)  0. x y z z , 0 0 0 (0,0) lim 2 2 0      x x z x x , 0 0 0 (0,0) lim 2 2 0      y y z y y

7例 3函数z=xy在点(0,0)处不取得极值x.0-0= 0, z,(0,0) = 0.zx (0,0) = limx-0x-00008个个个高等数学教学部不不个

高等数学教学部 6 x y z 0, 0 0 0 (0,0) lim 0       x x z x x (0,0)  0. y z

62、判定定理定理 1 （必要条件）设函数z= f(x,y)在点(x,J)具有偏导数，且在点(xo,yo)处有极值，则有 f(xo,yo)=0，f,(xo,y)=0.证不妨设z=f(x,y)在点(xs,y.)处有极大值，则对于(xo,y)的某邻域内任何异于(x,y)的点(x,y)都适合不等式f(x,y)<f(x,,yo)故当y= yo, x±x,时,有f(x,yo)<f(xo,Jo),一元函数f(x,Jo)在x=x,处有极大值，f,(xo,yo)=0类似可证f,(xo,yo)=0如果三元函数u= f(x,y,z)在点P(xo,yo,zo)具有偏导数，则它在P(xo,Jo,zo)有极值的必要条件为fx(xo,yo,zo)= 0, f,(xo,yo,zo)= 0, f,(xo, Jo,zo) = 0凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点001018个不高教学教学部不不不

高等数学教学部 7

说明￥1°具有偏导数的函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点.2°即使函数在个别点处的偏导数不存在，这些点也有可能是极值点.8000不不不高等数学教学部不不个

高等数学教学部 8

福定理 2（充分条件）设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内连续一阶及二阶连续偏导数，又f(xs,J。）=0，f,(x,y)=0令frr(x,J,)= A, f(xo,y.)= B, fm(xo,yo)=C则f(x,y)在点(x,,y)处是否取得极值的条件如下：（1）AC-B2>0时具有极值，当A0时有极小值；(2）AC-B2<0时没有极值;（3）AC－B2=0时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论求函数z=f(x,y)极值的一般步骤：第一步 解方程组f,(x,y)=0，f,(x,y)=0，求驻点;第二步对于每一个驻点(x,J。)，求出二阶偏导数的值 A、B、C;第三步定出AC一B2的符号，再判定是否是极值001018中不不不高等数学教学部不不不

高等数学教学部 9

?例 4 求函数 f(x,)=x2y3+3x2+3y2-9x的极值f (x,y)= 3x2 +6x -9= 0解解方程组f,(x,y)= -3y2 +6y=0得驻点：(1，0)，(1，2)，(-3，0)，(-3, 2)fxr(x,y)=6x+6, fx,(x,y)= 0, fy,(x,j)=-6y+6,在点(1, 0)处，AC-B2=12×6>0,A>0,f(1,0)=-5为极小值;在点(1, 2)处， AC - B2 =12×(-6)0, A<0,：f(-3,2)=31为极大值00810不不不高节教学教学部不不

高等数学教学部 10 f x (x, y)  3 6 9 0 2 x  x   f y (x, y)  3 6 0 2  y  y  f (x, y)  6x  6, xx f (x, y)  0, x y f (x, y)  6 y  6, y y 12 6 0, 2 AC  B    A  0, 12 ( 6) 0, 2 AC  B     12 6 0, 2 AC  B     12 ( 6) 0, 2 AC  B      A  0