《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 级数_1204函数展开成幂级数

第十二章无穷级数第四节函数展开成幂级数泰勒级数麦克劳林级数心三.函数展开成幂级数08

第十二章 无穷级数 第四节 函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、麦克劳林级数 三、函数展开成幂级数

泰勒级数1、问题的提出问题给出函数f(x）)，它是否能在某个区间内展开成幂级数，或者说，是否能找到一个幂级数，它在某个区间内收敛，且其和函数恰好就是f(x).假定f(x)在点x,的某邻域U(x)内展开成幂级数，即f(x) =ao +a(x-xo)+a,(x-x) +...+a,(x-x,)" +..., xeU(x,).由和函数性质知，f(x)在邻域U(x)内应有任意阶导数，且(n + 2)!an+2(x - x,) +...f(n)(x) = n!a, +(n+1)!anti(x -x,)2!f(n(x)(n = 0,1,2,...)... f(x)= f(xo) + f(xo)(x-xo) +I"(x)(x-x,)2!"(x(x-x,)" +,+...n!001018中个个个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 2 f x  a0  a1 x  x0  a2 x  x0  an x  x n  ( ). x  x0 ( ) ! ( 1)! ( ) 1 0 ( ) f x n an n an x x n      ( ) , 2! ( 2)! 2 2  0    a  x x n n ( ) ( 0,1,2, ). ! 1 0   f ( ) x n   n a n n  f (x)  ( )( ) x0 x x0  f   ( ) , ! ( ) 0 0 ( )   n  n x x n f x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x     ( ) x0 f

F(x)= (x) +f(x0)(x-x0) +I((x-x0)2!+f"(x)(x- x)" +.,n!(x)-Z"((x-x),xeU(x,).(1)n!110称为f(x)在点x,处的泰勒展开式，(1)式右端的幂级数称为f(x)在点x处的泰勒级数2eoo8不不不高数学教学部不不不

高等数学教学部 3 ( ) , ( ). ! ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) x x x x n f x f x n n n       (1) f (x)  ( )( ) x0 x x0  f   ( ) , ! ( ) 0 0 ( )   n  n x x n f x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x     ( ) x0 f

福2、泰勒级数定理（展开定理）若f(x)在点x,的某一邻域U(x)内任意阶可导则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内f(x)的泰勒公式中的余项当n →+oo时的极限为零，即 lim R,(x)=0.n→+0证记± ,(x)=(x)+ I(x0)(x-x,)+I(c)((x-x)2!f("(x(x-x0)",n!由泰勒公式知f(x)= p,(x)+ R,(x),Srma(x-x,)" = f(x) lim p,(x)= f(x)n!n=l lim[f(x) - p,(x)]= 0 ← lim R,(x)= 0.n-→+00n+8001018个个个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 4 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f x pn x f x f x x x        ( ) , ! ( ) 0 0 ( ) n n x x n f x   f (x) p (x) R (x),  n  n ( ) ( ) ! ( ) 1 0 0 ( ) x x f x n f x n n n      lim p (x) f (x) n n     lim[ ( )  ( )]  0  f x pn x n  lim ( )  0.  Rn x n

3、麦克劳林级数f (n) (0)f"(0)3f(x) = f(0)+ f'(0)x ++2!n!(x)=r((0)(2)Vn!称为f(x)的麦克劳林展开式，(2)式右端的幂级数称为f(x)的麦克劳林级数500108个个个高等数学教学部

高等数学教学部 5 , ! (0) ( ) 0 ( )     n n n x n f f x (2) , ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2        n n x n f x f f x f f x

S4、函数展开成幂级数直接展开法(a)n)(x,)Z(x一x)"，将函数f(x)展开为幂级根据展开公式f(x）=n!n=0数的方法，称为直接展开法函数f(x)展开为麦克劳林级数的一般步骤：第一步求出f(x)的各阶导数f'(x), f"(x),..,f(n)(x),..;第二步求出 f(x)的各阶导数值f(0), f'(0),f"(0),...,f (n (0),..;第三步写出f(x)的麦克劳林级数和收敛半径；2monf(x) =n!n=0f(") (0)f"(0)f(x) = f(0)+ f'(0)x +(-R<x<R).七X"2!n!f (n+) (0x)n+1第四步= 0,(0 < 0 <1),验证极限lim R,(x)=lim(n +1)!n-→+00eo中个个个高等数学教学部不不个

高等数学教学部 6        n n x n f x f f x f f x ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 (R  x  R). , ! (0) ( ) 0 ( )     n n n x n f f x

例 1 求函数f(x)=e*的麦克劳林展开式解 f(n)(x)= e*, f(")(0) =1,(n = 0,1,2,.),=1+(-8+00008个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 7 (0) 1,( 0,1,2, ), f (n) (x)  e x , f (n)  n   , ! 1 2! 1 1 x    2  x n  n e x x (  x  ). 1 ( 1) | | ( 1)! | ( )| | ( )|     n n n x n f x R x  1 | | ( 1)!    n x x n e  | | , (0 1) ( 1)! 1 | |       n x x n e

S例 2把函数f(x)=sin x展开成 x 的幂级数.n元n元解 f("(x)= sin(x+=f(")(0) = sin(n = 0,1,2,...),2f(n)(0)循环地取 0，-1，0，1，（n =0,1,2,.)，于是1(-1)"t2n+12+7sin x = xY3!(2n + 1)!5!= (2n + 1)!18<x<+8.(n+ 1)元(n+1) (x)R,(x) I= f1I sin[Ex +1x/n+1n+12t上/ x |n+1(n + 1)!=(n +1)!(n+ 1)!其中(0<0<1),因艺+an+1收敛，故IR,(x)I收敛，ER,(x)收敛, lim R,(x)= 0.(n+l）n-→+o0n=1n=1-22118ΛxΛ+8.0008个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 8 ,( 0,1,2, ), 2 (0) sin ( )  n   n f n  ), 2 ( ) sin( ( ) n f x x n          3 5 2 1 (2 1)! 1 5! 1 3! 1 sin n x n x x x x    x  .     x n  n x x x 2 4 2 (2 )! 1 4! 1 2! 1 cos 1    x  .        0 2 1 (2 1)! ( 1) n n n x n      0 2 (2 )! ( 1) n n n x n 1 ( 1) | | ( 1)! | ( )| | ( )|     n n n x n f x R x  1 | | ( 1)! ]| 2 ( 1) |sin[      n x n n x   | | , ( 1)! 1 1   n x n (0    1)

?间接展开法(b)利用已知的函数展开式，通过幂级数的运算法则（逐相相加、逐相相减、逐相相乘、逐相求导、逐相积分）及变量代换的方法，将函数展开为幂级数，称为间接展开法例3把函数 f(x)展开成x的幂级数(1)f(x) ::(2) f () =x2-x-61+x(3)f(x) = In(4 - 3x - x°);(4) f(x) = arctanx2解 (1), =1+x+x*+.+x"+..=Zx",(-1<x<1),=1- x+x2 -...+(-1)"x" +.=E(-1)"x", (-1<x <1).I+x0008中个个个高等数学教学部不不个

高等数学教学部 9 ; 6 1 ;(2) ( ) 1 1 (1) ( ) 2      x x f x x f x (3) ( ) ln(4 3 );(4) ( ) arctan . 2 2 f x   x  x f x  x 1 ,( 1 1), 1 1 (1) 0 2               x x x x x x n  n  n 1 ( 1) ( 1) , 1 1 0 2               n n n n n x x x x x   (1  x  1)

=1+x+x?+.+x" +...=Ex",(-1<x<1)1-X-0-=1-x+x? -..+(-1)"x"+.- (-1)"x", (-1<x<1)1+x号+#++#+-2(-1≤x<1)- ln(1 -x) = x +-In(1 + x) = x -(-1<x≤1)000810个不个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 10 1 ,( 1 1) 1 1 0 2               x x x x x x n  n  n 1 ( 1) ( 1) , 1 1 0 2              n n n n n x x x x x   (1  x  1) , 2 3 ln(1 ) 1 2 3             n n n n x n x x x x x   , ( 1) ( 1) 2 3 ln(1 ) 1 2 3 1 1                n n n n n x n x n x x x x   (1  x  1) (1  x  1)