《高等数学》课程教学资源（课件讲稿，下册）第9章 第4节 多元函数的极值

第九章多元函数微分学及其应用9.4多元函数的极值人民邮电出版社RISS&HOTRES

9.4 多元函数的极值 第九章 多元函数微分学及其应用

本节内容01多元函数的极值02多元函数的最值03条件极值

本节内容 01 多元函数的极值 02 多元函数的最值 03 条件极值

>一、多元函数的极值一元函数的极值设f(x）在x.的某个邻域U(xd)内有定义，若对于U(xd）异于x。的点x满足1）f（x）f（x.）则称f(x)为函数f（x）的极小值，x。称作极小值点

一元函数的极值 一、多元函数的极值

O#0一、多元函数的极值引例Y21在点(0.0)的某邻域内函数值的变化（1）观察函数zC4（2）观察函数z=4-x2-y2在点(0.0)的某邻域内函数值的变化分析1）中，在点(0.0)的某邻域内异于(0.0)的点(x.y），有z(x, y) > z(0, 0) = 0,（2）中，在点(0,0)的某邻域内异于(0,0)的点(x)，有z(x, y) <z(0, 0) = 4

引例 分析 一、多元函数的极值 z x O y z x y + = 4 9 2 2 = −x −y 2 2 z 4 z 4 x O y

M一、多元函数的极值定义9.7设函数z=f(x,y)的定义域为DiR2，P（xoy)为D的内点.若存在P(xo,yo）的某个邻域U(P）iD，对于该邻域内异于P（xo，y。)的任意点（x,y），都有f (x, y) f (xo, J))则称函数f（x,y)在点P（xo，J。）有极大值（或极小值）f（x，y），点P（xo，）称为函数f（x，J）)的极大值点（或极小值点）极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为函数的极值点：以上关于二元函数的极值的概念，可推广到n元函数

定义9.7 一、多元函数的极值

OOA0一、多元函数的极值设n元函数的定义域为DiR”，P为D的内点.若存在P的某个邻域定义9.8U(P）iD，对于该邻域内异于P的任意点P，都有f(P) f(P)则称函数f（P)在点P有极大值(或极小值)f(P）类似于一元函数取极值的必要条件，我们可以得到类似的二元函数取极值的必要条件如下：定理9.11设函数z=f（x,y)在点(x.y。)处的两个一阶偏导数都存在，若(xo，y）是f(x,y)的极值点，则有f, (xo, J)=0, f, (xo, y)= 0

定义9.8 定理9.11 一、多元函数的极值

OAA一、多元函数的极值证明若(xo,)是f(x,y)的极值点，固定变量y=Jo，所得一元函数f(x,y)在(xo,y）处同样取得极值：由一元函数极值存在的必要条件可得df(x, yo)= 0dx即f(xo,y。）=0，同样可证f(xo.）=0我们把偏导数都等于零的点（xJ)称为函数z=f（x,y)的驻点定理9.11表明，偏导数存在的函数的极值点一定是驻点，但驻点未必是极值点如z=xy，点(O,0)是它的驻点，但不是它的极值点

证明 一、多元函数的极值

OO#0一、多元函数的极值定理9.12设函数z=f(x,J)在点(x：)处的某邻域内具有连续的二阶偏导数，且f.(xo,)=0, f(xo,y)=0, 记A= f(xo,yo), B= fru(xo.yo), C= fu,(xo,o)则有()如果B2-AC0时，f(xo,yo）为极小值，当A0，则f(x,y)在点(xo,)不取极值(3)如果B2-AC=0，则(x,J)在点(xo,y)可能取得极值，也可能不取极值

一、多元函数的极值 定理9.12

CAA一、多元函数的极值求函数极值的步骤如下：=0（1）计算函数z=f(x,J)的偏导数f,f，解方程组求得驻点(xoy）Y,=0.（2）计算所有二阶偏导数，在每一个驻点（xo.y%)处，记A = fr (xo, yo), B= fu(xo, yo),C = f(xo, yo)利用极值存在的充分条件判断其是否为极值点；（3）计算函数的极值

一、多元函数的极值

O?一、多元函数的极值求f(x,）=3-x2+6x-12+5的极值例

例 一、多元函数的极值