《高等数学》课程教学资源（课件讲稿，下册）第9章 第6节 多元函数微分学的几何应用

9.6多元函数微分学的几何应用人民邮电出版社RISSAHITOTRES

9.6 多元函数微分学的几何应用

本讲内容空间曲线的切线与法平面0102空间曲面的切平面与法线

本讲内容 01 空间曲线的切线与法平面 02 空间曲面的切平面与法线

COAO一、空间曲线的切线与法平面空间曲线在其上点M。的切线定义为割线的极限位置（极限存在时）过M。而与切线垂直的平面称为曲线在点M。的法平面如图所示G2Mo

一、空间曲线的切线与法平面 z O x y S M0 M π 3

OOA、空间曲线的切线与法平面1.曲线方程为参数方程的情况设空间曲线G的参数方程为GMix=j (l),Giy=y (t) ri [a,b]S1 z = w(0).MoL这里假定j(t)，y（U)，w(t)在tl(a,b）内可导不同时为零

一、空间曲线的切线与法平面 z O x y S M0 M 4 1. 曲线方程为参数方程的情况

OO#0一、空间曲线的切线与法平面现在要求曲线G上一点M。（x.o，z。)处的切线和法平面方程.这里x。=j (to), o =y (to), zo =w(to), t,i [a,bl且月+月+w眉0.在曲线G上点M（x，y，z的附近取一点M(x+Dx,y+Dy,z。+Dz），对应的参数是t。+Dr(Dr！0)，作曲线的割线MM。X-Xo-y-yo-z-zoM其方程为DxDzDy其中Dx=j (t+Dr)- j (to),Dy =y (t+Dt)- y (to),Dz =w (tg+Dr)- w(to)M以D除上式各分母，得JX- XoZ- Zoy-yoDyDzDxDtDtDt

一、空间曲线的切线与法平面 5 z O x y S M0 M

X-Xo-V-yo-z-ZoOAO一、空间曲线的切线与法平面DxDzDyDrDtDt当点M沿着曲线G趋于点M.时，割线MM。的极限就是曲线在点M。处的切线M.S所以当M?M。，即DI?O时.得曲线在点M。处的切线方程为X- xo =y- yo -z- zoj dto) dto) wdto)曲线的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量，显然向量T= d(o), y d(o), wd(to))就是曲线G在点M.处的一个切向量由法平面的定义易知，曲线G在点M。处的法平面方程为yj d(to)(x- xo)+y d(to)(y- yo)+wd(to)(z - zo)= 0

一、空间曲线的切线与法平面 6 z O x y S M0 M π

、空间曲线的切线与法平面i x=1+1,求曲线iy=2+2在点(2,3,4)处的切线及法平面方程1 z=13 +3O解

例 1 解 一、空间曲线的切线与法平面 7

谷空间曲线的切线与法平面求圆柱螺旋线x=acost,y=asint,z=bt(a,biR,alo,bio)在t=P对应点处的切线方程和法平面方程O解

例 解 一、空间曲线的切线与法平面 9 求圆柱螺旋线￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾ 在 对应点处的切线方程和法平面方程. 2

OOA、空间曲线的切线与法平面2.若曲线G的方程为G=i(),Iz=y (x).ix=x,则曲线方程可看作参数方程：iy=j(s)1.iz=y (x)若i（x），（x)都在x=x处可导，由上面的讨论知，切向量为T = (1.j d(x)y d(xo)因此，曲线G在点M。（xo，yoz。)处的切线方程为x-xo-y-yo-z- zo1 jdx)x)在点M。（xo,o,z)处的法平面方程为(x-xo)+j x)(-)+yαx)(z-z)=0

一、空间曲线的切线与法平面 10

OA空间曲线的切线与法平面i J=2x33求曲线i在M（1,2，4）处的切线方程和法平面方程iz=x+30解

例 解 一、空间曲线的切线与法平面 11 求曲线 在 处的切线方程和法平面方程. 3