《高等数学》课程教学资源（课件讲稿，下册）第9章 第5节 方向导数与梯度

第九章多元函数微分学及其应用9.5方向导数与梯度人民邮电出版社RISS&HOTPRES

9.5 方向导数与梯度 第九章 多元函数微分学及其应用

本节内容方向导数0102梯度

本节内容 01 方向导数 02 梯度

O?O一、方向导数研究函数在点P。沿某一方向的变化率，这种变化率叫做方向导数定义9.9设函数u=f(x,y,z)在点P(xoyo,z.)的某一邻域U(P)内有定义，I为从点P出发的射线.P(x.y,z)为I上且含于U(P)内的任一点，以r表示P与P两点间的距离若极限f(P)- f(P)limrROr存在，则称此极限为函数u=f(x,y,z)在点P沿方向/的方向导数.记作

一、方向导数 定义9.9

O0、方向导数如果函数u=f(x,y,z)在点P(xo,o,z)可微分，则函数沿任意方向l的方定理9.13向导数都存在，且有ffIf1f(1)cosbcosacosg12161z/PIx/Iylr其中cosacosbcosg为方向的方向余弦设P(x.J,z)为方向/上任一点，r为P与P两点间的距离，由于u=f(x,y,z）在证11IfDz +o(r )f(P)- f(P)DxP点可微，则有1zIx rqyhPDxIfDzDyf(P)- f(P)1fo(r)两边各除以，得zIx/eyrFrrr21fIf1fo(r)cosbcosacosg1xIyle1z

定理9.13 证 一、方向导数

OA0一、方向导数所以1ff(P)- f(P)flimcosbcosacosg.111xrROly1z/PrIPP注对于二元函数f(x,J)1ff11cosbcosa17/e1y1x/P其中α；b为方向的方向角：

注 一、方向导数

?、方向导数求函数z=xe2)在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点O(2.-1)的方向的方向导数9.27

例 9.27 一、方向导数

?一、方向导数例9.28求u=-(6x2+8y2)在点P(1,1,1)处沿点P到Q(5,7,3)方向的方向导数

例 9.28 一、方向导数

本讲内容01方向导数02梯度

本讲内容 02 梯度 01 方向导数

OAA二、梯度设函数u=f(x,y,z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点定义9.10P(x,y,z)IG，都可定义一个向量Yi+it-kx称它为函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度，记作"IrIf r11gradf(x, y,z) =K12IxJyxyd

二、梯度 定义9.10

CO?二、梯度例9.30求函数u=x2+2y2+3z2+3x-2y在点(1,1,2)处的梯度由梯度计算公式得解DluruuJur=(2x+3)i+(4y- 2)j+6zkgradu(x,,z)12IxJy故gradu(1,1,2)=5i+2j+12k

例 9.30 解 二、梯度