《高等数学》课程教学资源（课件讲稿，下册）第11章 第2讲 对坐标的曲线积分

11.2对坐标的曲线积分人民邮电出版社RSHPRES

11.2 对坐标的曲线积分 1

本讲内容01对坐标的曲线积分的概念和性质02对坐标曲线积分的计算法03两类曲线积分之间的关系

本讲内容 01 对坐标的曲线积分的概念和性质 02 对坐标曲线积分的计算法 03 两类曲线积分之间的关系

COA7一、对坐标的曲线积分的概念和性质引例变力沿曲线做功yBurMM..TDy1.4?RF)=Pr+O1.1MDxM,M,urLLIT当没线·W-x01°分割 : A=M。,M,(x,J)L , Mn-1(xn-1,Jn-1), M, =B,将L任意分成n小段；uruuurrrr20取近似MM=（Dr）+（D）取F(h）=P(h+OhurLLLLLLr即DWPhDr+OhDDW》F(h）XMM1

一、对坐标的曲线积分的概念和性质 3 引例

CO7一、对坐标曲线积分的概念和性质B=M,M3° 求和 :M4AyiAXW =a DW > a [P(x,h,)Dx, +Q(x,h,)Dy,]-MMi=1-1A=MOx4° 取极限: W = lima [P(x,h,) ×Dx, +Q(x,h,)×Dy,]LROi1

4 一、对坐标曲线积分的概念和性质 A=M0 M1 M2 Mi-1 Mi Mn-1 ∆yi ∆xi y O x B=Mn

OO#0一、对坐标曲线积分的概念和性质定义11.2设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P(x,J)，Q(x,y)在L上有界。用L上的点M,(x,J),M,(x2,J2),LMn-1(xm-1,n-1）把L分成n个有向小弧段M,,M，(i=1,2,L，n；M。=A，M,=B).设Dx,=x,-x.1Dy=y-y-1：点(x,h)为M,,M上任意取定的点如果当各小弧段长度的最大值?0时，若极限lima[P(xh,)Dx,+Q(x,h,)Dy]存在，则称此极限为函数P(x,y)Q(x,J)在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分（或称第二类曲线积分）记作o P(x, y)dx +Q(x, y)dy= lima [P(x,h,)Dx, +Q(x,h,)Dy,]5

5 一、对坐标曲线积分的概念和性质 定义11.2

O?0一、对坐标曲线积分的概念和性质o P(x, y)dx +Q(x, y)dy有向弧元素向量值函数U若记 F(x,))={P(x,y),Q(x,y) dr = dxi+dyj = (dx,dy)uloP(x,y)dx+Q(x,y)dy 可表示为 Fxdr有向积分曲线

6 一、对坐标曲线积分的概念和性质 若记￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾， 可表示为 有向积分曲线 向量值函数 有向弧元素

OO?0一对坐标曲线积分的概念和性质注(1)若L为有向闭曲线，则表示为NP(x,y)dx+Q(x,J)dy(2)oP(x, y)dx = lima P(x,h,)Dx,oO(x,y)dy = lima Q(x,h,)Dy1RUR/=1urr1(3)变=P+0没线：4@做W= o P(x,y)dx+Q(x,y)dy(4)存在条件当P(x,J)，(x,y)在光滑曲线弧L上连续时，第二类曲线积分存在

7 一、对坐标曲线积分的概念和性质 注

OOA一、对坐标曲线积分的概念和性质(5)推广 空间有向曲线弧G，αPdx+Qdy+RdzQ P(x, y,z)dx +Q(x, y,z)dy+ R(x, y, z)dz= lima [P(x,h,,z ,)Dx, +(x,,h,,z,)Dy, + R(x,h,z ,)Dz,]LROi=即QP(x,y,z)dx=lima P(x,h,z,)Dx,TROi=lQQ(x, y,z)dy = lima Q(x,h,z,)Dy, LRi-IQR(x,y,z)dz= lima R(x,h,z,)Dz,.10=8

8 一、对坐标曲线积分的概念和性质

OO00一、对坐标曲线积分的概念和性质设L是有向曲线弧，L是与L方向相反的有向曲线弧，则性质11.4O, P(x, y)dx + Q(x, y)dy =- o P(x, y)dx + Q(x, y)dy设αb为任意常数，则性质11.5LLla F+bG] dr=aOFxdr+ boGdrQ Pdx+Qdy = 0 Pdx +Qdy+ 0 Pdx +Qdy.性质11.6如果把L分成L和L2，则对坐标的曲线积分与曲线的方向有关S

9 对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 一、对坐标曲线积分的概念和性质 性质11.4 性质11.6 性质11.5

OA一、对坐标曲线积分的概念和性质o P(x, y)dx+Q(x, y)dyul1oP(x,y)dx+Q(x,y)dy 可表示为0F xdrdr = dxi+dyj = (dx,dy)F(x, y) =(P(x,y),Q(x,y)

10 一、对坐标曲线积分的概念和性质 可表示为