《高等数学》课程教学资源（课件讲稿，下册）第11章 第1讲 对弧长的曲线积分

第十一章曲线积分与曲面积分人民邮电出版社RPRES

第十一章 曲线积分与曲面积分 1

本章内容01对弧长的曲线积分02对坐标的曲线积分03格林公式及其应用

本章内容 01 对弧长的曲线积分 02 对坐标的曲线积分 03 格林公式及其应用

11.1对弧长的曲线积分人民邮电出版社RSHPRES

11.1 对弧长的曲线积分 3

本节内容01对弧长曲线积分的概念和性质02对弧长曲线积分的计算法

本节内容 01 对弧长曲线积分的概念和性质 02 对弧长曲线积分的计算法 4

OOA0一、对弧长曲线积分的概念和性质引例（曲线形构件质量）设L是一个质量分布不均匀的曲线形构件，ByTM在点M(xy)IL的密度为r（x,y），求曲线MM形构件L的质量mMM4匀质质量：m=mxs0x1°分割：插入点M,M,,L，M.1，将L任意分成n小段2°取近似：取(x,,h)1Ds,，Dm,》r(x,h,)×Ds;3°求和:m》a r (x,h,)×Ds,；4°取极限:m=limar(x,h)×Ds,/ROi-1i-

5 一、对弧长曲线积分的概念和性质 引例（曲线形构件质量）

O?O一、对弧长曲线积分的概念和性质设L为xOy面内一条光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界，用L上的点M,M，定义11.1L，M，把L分成n个小段.设第i个小段的长度为Ds，又(x,h)为第i个小段上任意取定的一点，作乘积f(x,h）×Ds，并作和af(x,h）)xDs，如果当各小弧段的长度的最大值1?0时，该和的极限存在，则称此极限为函数f(x.v）在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作f(x,y)ds弧长元素即of(x,y)ds= lima f(x,h,) ×Ds,.R1=1积分曲线被积函数

6 被积函数 一、对弧长曲线积分的概念和性质 定义11.1 积分曲线 弧长元素

OOA一、对弧长曲线积分的概念和性质注(1)若L为闭曲线，则表示为Nf(x,y)ds(2)平面曲线形构件L的质量：M=or(x,y)ds;空间曲线形构件L的质量：M=r(x,y,z)ds(3)存在条件当f(x，y)在光滑曲线弧L上连续时，对弧长的曲线积分f(x,y)ds存在(4)推广 函数f(x,y,z)在空间曲线弧G上对弧长的曲线积分为Qf(x,y,z)ds=lima f(x,h,z,)Ds,.1RO/=1

7 一、对弧长曲线积分的概念和性质 注

CO00一、对弧长曲线积分的概念和性质o[a f(x, y)± b g(x, y)]ds =a of(x, y)ds ± b og(x, y)ds性质11.1of(xy)ds=f(x,y)ds+f(x,)ds其中=+(，无公共内点）性质11.2s=のlds，其中s为曲线L的长度性质11.38

8 一、对弧长曲线积分的概念和性质 性质11.1 性质11.2 性质11.3

本讲内容01对弧长曲线积分的概念和性质02对弧长曲线积分的计算法

本讲内容 02 对弧长曲线积分的计算法 01 对弧长曲线积分的概念和性质 9

OAA二、对弧长曲线积分的计算法对弧长的曲线积分的计算归结为计算一个定积分1.平面曲线L以参数方程形式给出ix=j (0)设f(x,Jy)在曲线曲线L上有定义且连续，L的参数方程为i定理11.1(aftfb)iy=y (0),其中i(t)y(t)在[a,b]让上具有一阶连续导数，且i(t)+y(t)10，则of(x,y)ds存在，且of(x, y)ds = fV (0)y (0)INi e(0) +y e(0)di解释(1)定积分的下限α一定要小于上限b；(2）f(x,J)中x,y不是独立的，而是相互有关的

10 二、对弧长曲线积分的计算法 定理11.1 解释 对弧长的曲线积分的计算归结为计算一个定积分。 1.平面曲线L以参数方程形式给出