《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十章 重积分_1005本章小结

第十章重积分本章小结本章主要内容例题分析三、 习题08

第十章 重积分 本章小结 一、本章主要内容 二、例题分析 三、习题

一、本章主要内容1、二重积分(1）二重积分的定义、性质、几何意义；(2）二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）2、三重积分(1）三重积分的定义、性质；（2）三重积分的计算方法（直角坐标、柱坐标）。3、重积分的应用（空间立体的体积、空间曲面的面积）o中个不不高数学教学部不不不

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二、例题分析例1计算二重积分：(1)[『 dxdy，其中 D 是y=x,=3x,x=1,x=3所确定的闭区域;xD(2) 『sindxdy，其中 D 是y=x,x=y"所围闭区域;VD(3) JJ(xy +1)dxdy，其中 D 是4x2 +y2=4所围闭区域;DJjiy-x"[dxdy，其中 D=(x,J)/-1≤x≤1,0≤y≤1)所围闭区(4)江D域;(5) J1x2 + y2 - 2| dxdy, 其中 D: x2 + y2 ≤9.D福001018个个个高等数学教学部不不不

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S例2交换积分次序：V2x-(1)T' dxf.f(x,y)dy+f dxff(x,y)dy;福计算'dy'x sin xydx;(2)(3) 设f(y)在[a,b)上连续, 证明: I' dx (y)dy=" f(y)(b- y)dy;(4)把二重积分Jf(x,y)do, D:x + y2=a’(a>0)转换成极坐标系D下的二次积分;(5)把二重积分JJ f(x,y)do，D:x + y2≤2ax (a>0)转换成极坐标D系下的二次积分；J f(x,j)do,D:x" + y2≤ 2ay (a>0)转换成极坐标(6)把二重积分|D系下的二次积分，00l08拉个不不高教学教学部不不不

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S例3计算三重积分：(1)J[(1+x+y+z)dxdydz，其中Q 为三个坐标平面及平面Q2x+y+z=1所围成的闭区域：V2=2z绕 z轴旋转一(2)[[j(x2 + y")dxdydz，其中Q为平面曲线x=0S周形成的曲面与平面z=2,z=8所围成的闭区域(3) J[[(x+z)dv,其中Q为曲面z=2-x -与z=x +y"所围成的闭区域0008个不不高教学教学部不不不

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+例4其他：求锥面z=x2+2和球面z=1-x2—2所围成的立体的体(1)积；求锥面z=/x2+2被柱面z2=2x所割下的那部分曲面的面积；(2)设函数 f(x)在[0，1]上连续，且[f(x)dx=A，求证:(3).dxf.1(x)1(y)dy-2A0008个不个高等数学教学部不不个

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S例5#填空选择：I' dxf f(x, y)dy -交换积分次序(1)若由曲线x2+y2=1所围成的圆形薄片上各点处的面密度为(2)p(x,J)=/x2 + y2，则该薄片的质量为（2元(B)(D)(C)~元(A) 元元：32(3)若D 2D,，则必有（）;(A) [J f(x, y)dxdy ≥[] f(x,y)dxdyDD(B) Jj1 f(x, )| dxdy ≥f1 f(x,y)/ dxdyDiD2(C) I J] f(x,y)dxdy[]] f(x,)dxdy(D)以上结论都不对DD(4）交换二次积分的次序J'dyf"f(x,y)dx +f dyf"f(x,y)dx -0008年个不高等数学教学部不不不

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C(5) 设f(x,y)= xy +[[ f(x,y)dxdy，其中 D 是由 x 轴、y 轴及直D线x+y=1 的闭区域，则,(xy)=1(A) xy(B) xy+(C) -xy(D) 2xy12(6) 设有空间闭区域2, :(x,y,z)/x2+2+z2≤R2,z≥0)22 : (x,y,z)/ x2 + y2 +z’<R2,x ≥ 0,y ≥0,z≥ 0), 则有(B)(A) J] xdv=4]] xdvJf ydv= 4]f ydv222(C)J xyzdv= 4J]f xyzdvJ] zdv = 4[ zdv(D)21222221(7)设Q是由曲面z=x2+y2与平面 z=4 所围成的闭区域，则[JJf(x,y,z)dv在柱坐标系下的三次积分的表达式为2001018中个不不高教学教学部不不不

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设f(x)为连续函数，F(t)=f dyf f(x)dx，则 F(2)=(8)(C) -f(2)(D) 0(A) 2f(2)(B) f(2)0008个个个高等数学教学部不不个

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例 1计算二重积分：(I)[[dxdy，其中 D 是y=x,J=3x,x=1,x=3所确定的闭区域;XD(2) [sin dxdy，其中 D 是y=x,x=y"所围闭区域;D(3) [[(xy + 1)dxdy，其中 D 是4x2 + y2=4所围闭区域;(4) Jjly-x"|dxdy,其中D=(x,y)]-1≤x≤1,0≤y≤1)所围闭区D域;(5) [jlx2 + y2 -2] dxdy,其中D: x + y2≤9D00810个个个高等数学教学部不不不

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