《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 级数_1207傅立叶级数

第十二章无穷级数第七节傅立叶级数三角级数三角函数系的正交性函数展开成傅立叶级数国三、1正弦级数和余弦级数08

第十二章 无穷级数 第七节 傅立叶级数 一、三角级数 三角函数系的正交性 二、函数展开成傅立叶级数 三、正弦级数和余弦级数

?、三角级数三角函数系的正交性函数系1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...cosnx,sinnx,..称为三角函数系.对于一个函数系(g,(x)，若,(x)pm(x)dx=0(n ± m)，则称此函数系在la,bl上是正交函数系 cos nxdx = 0,sin nxdx = 0.元[0,0m+nm+n元sin mx sinnxdx =cosmxcosnxdx:m=nm=n元,元，sinmx cosnxdx = 0, 其中m,n = 1,2,...由此可知，上述三角函数系在[一元，元|是正交的[" 1dx = 2元, ["cos” nxdx = 元, [" sin’ nxdx = 元, (n = 1,2,..).说明000个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 2 cos  0,    nxdx sin  0,    nxdx , , 0, sin sin           m n m n mx nxdx , , 0, cos cos           m n m n mx nxdx sin cos  0,    mx nxdx 1 2 ,     dx cos , 2      nxdx sin , 2      nxdx (n  1,2,)

二、函数展开成傅立叶级数1、傅立叶系数假设f(x)是周期为2元的周期函数，且 f(x)能展开成三角级数，即f(x)-" + Z(a, coskx + b, sin kx),(1)(1)式两端在[一元,元|上积分，有" (x)dx =a dx + "12(a, cos kx+b, sin kx)dx-gdx+Za, coskedx+Zb sin kdx -.2n,2.a -- (x)d.oo8个个个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 3 ( cos sin ), 2 ( ) 1 0       k ak kx bk kx a f x (1) dx a kx b kx dx a f x dx k k k [ ( cos sin )] 2 ( ) 1 0                dx a kxdx b kxdx a k k k k cos sin 2 1 1 0                     2 , 2 0    a ( ) . 1 0       a f x dx

Sf(x) =a + Z(a, cos kx+b, sin kx),(1)(1)式两端同乘以cosnx，然后在[一元，元上积分，有ao[" f(x)cos nxdx = cos nxdx12JZ[a ",coskxcosnxdx+b, ] sinkxcos nxdx]=a, J.cos’ nxdx =a,,..a, - " (x)cos xdx, (n-1,3,-).(1)式两端同乘以sin nx，然后在[一元,元|上积分，有f(x)sin xdx-"'sinxdx2+E[a,,coskxsin nxdx+b, 'sin kxsinnxdx] -b, J' sin'nxdx =b,元,..b, - " (x)sin nxdx, (n= 1,2,3, .).T00l08个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 4        nxdx a f x nxdx cos 2 ( )cos 0 [ cos cos sin cos ] 1            a kx nxdx bk kx nxdx n k     an nxdx 2 cos  ,  an ( )cos , 1       an f x nxdx (n  1,2,3,). ( )sin , 1       bn f x nxdx (n  1,2,3,).        nxdx a f x nxdx sin 2 ( )sin 0 [ cos sin sin sin ] 1            a kx nxdx bk kx nxdx n k  ,  bn ( cos sin ), 2 ( ) 1 0       k ak kx bk kx a f x (1)     bn nxdx 2 sin

2、展开公式定理 1设周期为2元的周期函数f(x)能展开成三角级数f(x)= ao + E(a, cos nx + b, sin nx),其中a, =-" f(x)cos nxdx, (n=0,1,2,)b, -,』, I(x)sin nxdx, (n=1,2,3,).系数ao，a,，b,，(n=1,2,3,)称为函数f(x)的傅立叶系数，而三ao。 +Z(a, cos nx + b, sin nx)称为函数f(x)的傅立叶级数.角级数“20008个个个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 5 2、展开公式

S3、收敛定理定理2（收敛定理狄利克雷(Dirichlet)充分条件)设 f(x)是以2元为周期的周期函数.如果它满足条件：(1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点(2）在一个周期内至多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛，并且当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x);(1)兰当x是F(x)的间断点时，收敛于/(x)+(x*)(2)72说明只要函数f(x)满足定理条件，则在C=(x (x)=(x )+f(x ),2函数f(x)可展开成傅立叶级数，即f(x)=a+E(a, cos nx+b, sin nx).0008个个个高等数学教学部不不不

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?-元≤x<0例 1 设,f(x)是以2元为周期的周期函数，f(x)=00≤x<元将其展开为傅立叶级数2元3元×3元/2元1解所给函数满足收敛定理的条件f(x)在点x =k元(k =±1,±3,…)不连续，其傅立叶级数收敛于0-元f(x )+ f(xt)元在其余点处，其傅立叶级数收敛于f(x)222001018个不个高数学教学部不不个

高等数学教学部 7 x y o  2    2   3 3 2 ( ) ( )   f x  f x , 2 2 0      

Ca, -- (x)cos nxdx=-][x sin nx + -cos nx]',x cosnxdx=nn元元211n =1, 3,5,...Tn?(1-cosn元)[1-(-1)"=n元n元0n = 2,4,6,..元a,--(x)dx --xdx -2b, -- f(x)sin nxdx=-二[xcos nx - -sin nx]'x sin nxdx -n元Tn(-1)+1cosn元[-(一元)cosn元] =, n = 1,2,3,...nn元n(-1)*+1- (0)=--+21-(-1)sin nx]cosnx +n元n(-00 <x<+00; x±±元,±3元, ...)000个不高教学教学部不不不

高等数学教学部 8      an f (x)cosnxdx 1   0 cos 1   x nxdx      a f (x)dx 1 0   1 0   xdx , 2    0 cos ] 1 [ sin 1     nx  n x nx n , 0 2,4,6, 1, 3,5, 2 2          n n n      bn f (x)sinnxdx 1   0 sin 1   x nxdx 0 sin ] 1 [ cos 1      nx  n x nx n (1 cos ) 1 2   n n   [1 ( 1) ] 1 2 n n     [ ( )cos ] 1    n n     n cosn   , 1,2,3, , ( 1) 1      n n n sin ] ( 1) cos 1 ( 1) [ 4 ( ) 1 1 2 nx n nx n f x n n  n             (  x  ; x    ,  3 ,)

三、正弦级数和余弦级数定理3设周期为2元的周期函数f(x)满足收敛定理的条件若f(x)是奇函数，则它的傅立叶级数为f(x)=b, sin nx，其中b, ==" f(x)sinnxdx, (n = 1,2,3,.),f(x)=b, sin nx称为正弦级数;若f(x)是偶函数，则它的傅立叶级数为,f(x)="+a,cosnx,f" f(x)cos nxdx, (n = 0,1,2,..),其中a,=f(x)="s+a,cosnx称为余弦级数.001018个不个高数学教学部不不不

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+0≤t<元,将其展开例 2 以2元为周期的矩形脉冲的波形u(t)=[-1, -元≤t<0为傅立叶级数解所给函数满足收敛定理的条件.u(t)在点t = k元(k =0,±1,±2,..)不连续，其傅立叶级数收敛于-1+1u(t-)+u(t*)=0，在其余点处，其傅立叶级数收敛于u(t),22(n = 0,1,2,...),a, =01000UL00810个个个高等数学教学部不不个

高等数学教学部 10 2 ( ) ( )   u t  u t 0, 2 1 1     o t u    1  1 an  0 (n  0,1,2,)