《高等数学》课程教学资源（课件讲稿，下册）第11章 第4讲 格林公式及其应用（2/2）

11.3格林公式及其应用人民邮电出版社RISOPRES

11.3 格林公式及其应用 1

本讲内容01格林公式02平面上曲线积分与路径无关的条件03二元函数的全微分

本讲内容 02 格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件 01 03 二元函数的全微分

OOA一、格林公式定理11.3设平面有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,),Q(x,）qPo.a0N Pdx+ dy- 0在D上有一阶连续偏导数，则有dJy o其中L是D的取正向的整个边界曲线注和的顺序1.注意Ixy2.D可以是单连通区域也可以是复连通区域3.L为区域D的所有边界曲线，均取正向

一、格林公式 3 定理11.3 l注 3.L为区域D的所有边界曲线,均取正向

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本讲内容 02 格林公式及其应用 平面上曲线积分与路径无关的条件 01 03 二元函数的全微分

》个计算I=2xydx+x~dy，其中L分别是连接起点O(0,0）和终点A(1,1)的下列有向线段(2) y= x2 ;(3)折线OMA,其中M(1,0)(1) y= x;

5 例

OO00二、平面上曲线积分与路径无关的条件设D是单连通区域，函数P(x,J)，Q(xJ）在D内具有一阶定理11.4连续偏导数，则以下四个命题等价：D(I)沿D中任意光滑闭曲线L，有NPdx+Qdy=0;单连通（无洞）(2)对D中任一曲线L，曲线积分Pdx+Qdy与路径无关，只与起止点有关；(3)存在函数u(x,y）)，满足du(x,)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy;1p10(4)在D内每一点都有y1x6

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 6 单连通（无洞） 定理11.4

计算/=0(xe'- 2y)dy+(e'+x)dx,其中 :例(1)L是圆周x2+y2=ax(α>0),方向取逆时针方向(2)L是上半圆周x2+y2=ax(a>0,y30),由A(a,0)到O(0,0

7 例

?y.xdy-yd计算/=X2+2其中L为一条分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向?

9 例

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本讲内容 03 格林公式及其应用 平面上曲线积分与路径无关的条件 01 二元函数的全微分 02

OA7三、二元函数的全微分曲线积分Pdx+Qdy与路径无关，则存在u(x,y)使得即du (x, y)= P(x, y)dx +Q(x, y)d)原函数D(xa1B(x,y)) P(x,y)dx + O(x, y)dy)=.Vec(x,J,)A(xa,y.)0 P(x, o)dx + 0 0(x, y)dy0xAC:VEVu(x,y)=0 o(xo,y)ly+o P(x, y)dx其中(xo)是G内一适当选定的点

三、二元函数的全微分 11 原函数