《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 级数_1201常数项级数的概念与性质

第十二章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质常数项级数的概念、收敛级数的基本性质08

第十二章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念与性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质

一、常数项级数的概念1、问题的提出引例计算半径为R的圆面积计算内接正六边形的面积a,R以这个正六边形的每边为底，分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这六个等腰三角形的面积之和a,，则a,+a,就是正十二边形的面积；以这个正12边形的每边为底，分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这12个等腰三角形的面积之和a，则a,+a，+a,就是正24边形的面积；以此类推，ar，a, +az，a, +az+as,…,a, +a,++a,,..就越来越接近圆的面积，即a, +αz +.…·+a,(n→)的极限就是所求圆的面积.00l08个个个高数学教学部不不不

高等数学教学部 2 R

S2、级数的概念定义 1 设有数列(u,(n =1,2,.), Eu, = u +u, + u, +.+ u, +..n=1称为常数项无穷级数，简称级数，u.称为级数的一般项（通项）定义 2 设有数列(u,(n =1,2,.), S, = u, +u, + u, +.+u, -ui称为级数的部分和（前n项和）部分和数列{S:S, =u,,S, =u, +u2,..,S, =u, +u, +u, +...+un,.定义 3若级数u,的部分和数列(S,)有极限 S，即limS,=S，则0n-1C称无穷级数收敛，S称为级数的和，记为u，=S.若数列(S,}没有极限，n=1则称无穷级数u，发散n=1000x不不不高尊数学教学部不不不

高等数学教学部 3

说明(1)常数项级数收敛(发散)lim S,存在(不存在)即级数和它的部分和数列同收敛或同发散，收敛时有u,=lim S,n>on=180(2) r, = S-S,=un+1 +un+2 +.称为级数u,的余项,n=180若级数u,收敛，则 limr, =lim(S-S,)=0,n→00100n=1近似计算公式：S～S,，误差为r0008个个个高数学教学部不不不

高等数学教学部 4 lim  lim(  )  0,   n n n n r S S

S例1讨论等比级数(几何级数）00Zaq"aaq+ag aq"， (a* 0)的收敛性.n=0aaq解 如果|q #1, s, =a+ag+ag +.+aq"-_a-aq"1-q 1-q1-q a当(1时，,： limq" = 80, limS, = o0,级数发散0n→00级数发散如果g=l, S,=a+a+a+...+a=na→o,如果q=-l，级数变为a-a+a-a+.，级数发散2.80当g<1时,aq"收敛，和为当≥1时,aq"发散.n=0n=00008个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 5 2 1      n Sn a aq aq  aq q a aq n    1 , 1 1 q aq q a n     lim  0,  n n  q , 1 lim q a Sn n     lim  ,  n n  q  lim  ,  n n S S  a  a  a   a  na  , n  a  a  a  a 

例2判别无穷级数+…·的收敛性n.(n+1).22.3解.un+1n(n+ 1)nn·(n+1).3-(-2)+(-++(-n-n+1lim S, = lim(1=1,级数的和为 1.1n->001->00n+oo8个个个高等数学教学部个不个

高等数学教学部 6 ( 1) 1   n n  un , 1 1 1    n n ( 1) 1 2 3 1 1 2 1          n n Sn  ) 1 1 1 ) ( 3 1 2 1 ) ( 2 1 (1         n n  ) 1 1 lim lim(1       n S n n n , 1 1 1    n  1

的收敛性。例3判别无穷级数 n·(n+1).(n+2)1=11解",=n·(n+1) (n+2)-2/n (n+1) (n+1) (n+2)11S.2.32.3.4n·(n+1).(n+2)12(12-23) +2(23-3.4)++2bIn.(n+1) (n+1).(n+2)--(a+1)(+2) -(a→0), 级数的和为)40008个不个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 7 ( 1) ( 2) 1      n n n un ], ( 1) ( 2) 1 ( 1) 1 [ 2 1        n n n n ( 1) ( 2) 1 2 3 4 1 1 2 3 1             n n n Sn  ) 2 3 1 1 2 1 ( 2 1     ) 3 4 1 2 3 1 ( 2 1     ] ( 1) ( 2) 1 ( 1) 1 [ 2 1         n n n n  ] ( 1) ( 2) 1 1 2 1 [ 2 1       n n ( ), 4 1  n  

例4 判别无穷级数1+2+··+n +·的收敛性n(n+1)解 S, =1+2+...+n_.limS,=oo，级数发散20a例 5 判别无穷级数Zln(1+-)的收敛性,nn=1解 u, =In(1+-)= In(n + 1)- In nnS = ln2 + In3 + ...+ In(1 + -2= ln 2 - In1+ In 3 - In 2 + ... + ln(n + 1) - In n = In(n + 1) → o0(n -→ o0)级数发散.0008个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 8 Sn  1 2  n , 2 (  1)  n n  lim  ,  n n S ) 1 ln(1 n un    ln(n  1)  lnn, ) 1 ln2 ln3 ln(1 n Sn      ln2  ln1 ln3  ln2  ln(n  1)  lnn  ln(n  1)  (n  )

+#++,- 是发散的.例 6 i证明调和级数1+证级数的前2m+1项部分和是S.-(++++++++++++6+++)2m+1(+)+(+)+(6+1++1一X2m+1m+12m+12m+2+++++++:→0(m → 0),22因部分和数列发散，则调和级数发散008个个个高尊数学教学部不不不

高等数学教学部 9 ) 2 1 2 2 1 2 1 1 ( ) 16 1 10 1 9 1 ) ( 8 1 7 1 6 1 5 1 ) ( 4 1 3 1 ) ( 2 1 (1 1 2 1                      m m m S m   2 1 2 1 2 1 2 1 2 1      ) 2 1 2 1 2 1 ( ) 16 1 16 1 16 1 ) ( 8 1 8 1 8 1 8 1 ) ( 4 1 4 1 ) ( 2 1 2 1 ( 1 1 1                   m m  m  2  2  m  (m  )

收敛级数的基本性质u,收敛,和为 S，则ku,亦收敛，和为ks性质 1 如果级数=n=180证设uu,的部分和为S,，则lims.=s0n=180又设ku,的部分和为T,，即ku,=T,n=l-limT，=limks，=ks，则ku,亦收敛，和为kSn->00n>00n=1若k0，级数u,与ku,具有相同的敛散性推论1=100810个个个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 10 n n T  lim n n kS   lim  kS