《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 级数_1202常数项级数的审敛法

第十二章无穷级数第二节宫常数项级数的审敛法正项级数及其审敛性交错级数及其审敛性国三华绝对收敛与条件收敛08

第十二章 无穷级数 第二节 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛性 二、交错级数及其审敛性 三、绝对收敛与条件收敛

?一、正项级数及其审敛性每一项都是常数的级数称为常数项级数，每一项都大于或等于零的常数项级数称为正项级数若u.=u, +u, + u, +.+u, +...为正项级数,则部分和数列说明{S,}: S, = u, +u, +u, +...+u,单增.1、基本定理定理 1（基本定理）正项级数u，=u +u,+u,+.+u,+..收敛的充分必要条件是它的部分和数列(S，有界设正项级数u,=u, +u, +u,+….+u,+.收敛,证（必要性）n=即部分和数列(S,}收敛，因而{S,}有界Zu,也收敛.（充分性）设{S,有界,又{S,}单增，故{S,收敛,=0010182不不高等教学教学部不不

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+2、比较审敛法设u,和v，是两个正项级数，且定理 2 （比较审敛法）n=1n=1u, ≤ v,(n = 1,2,...).(1）若v,收敛，则u,收敛；（2）若u,发散，则v,发散n=ln=1n=8证 记u,部分和为S,，,部分和为o,又u,≤vn,S,≤o,n=ln=18080Z.u,收敛Zv,收敛，知[o,)有界，故[S,)有界，级数因(1)三u,发散，知(S,)无界，故(o,)无界，级数因V,发散.(2)n=1n=14008个个个高数学教学部不不个

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设u,和v,是两个正项级数，且存在正整数 N，当n>N推论n=1n=1时有u,≤kv,，k为正常数(1）若v,收敛，则u,收敛；(2）若u,发散，则v,发散n=1:说明使用比较判别法判断级数的收敛性，须掌握一些重要级数的收敛性，如几何级数、调和级数、p级数等．这是一种利用已知级数判别未知级数的方法001018个不个高尊数学教学部不不不

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例 1 讨论 p 级数1 +..的收敛性，p>03P2p480001ZZ因发散，故发散证当p≤1时,hn=innnn=1dx-广广会当p>1时,V.dxd+. ...+x一12F-1xdxp--)1，级数收敛；若0<p≤l，级数说明n=eoo8个个个高等数学教学部个不个

高等数学教学部 5 , 1  1  1   n n p n n p p x dx n dx n n p p p n S 1 3 1 2 1  1          n n p p x dx x dx 1 2 1 1     n p x dx 1 1 ) 1 (1 1 1 1 1     p p n , 1 1 1    p o y x p x y 1  1 2 n  1 n (n  2,3,)

nD的收敛性。例 2判别正项级数+1n=in7n"-，而收敛，则2收敛解：un+1n=ln例3 判别下列级数的收敛性：(1) ZZ(2)?5h.2nn(n2X11而之收敛.则收敛，(1)un解3n(n2 +1)n(n2 + 1)1=11n=12，而之收(2)u. = n.2"则之收敛，贝收敛一n.2=1oo8个个个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 6 1 3   n n  un 3 n n  , 1 2 n  ( 1) 1 (1) 2   n n un , 1 2 3 n  n n n u 2 1 (2)   , 2 1 n 

定理3（比较审敛法的极限形式）设u,和v,是两个正项级数，-1n=1un=l. (1) 当0 001n=1n=1若v,收敛，则u,收敛；(3）当l=+时，若,发散，则u,发散n=1n=1nsn=un=l, 则对于&=证 (1)因lim存在正整数 N，当n> N时2n>001un.n.cu.nunn-l<8,有即Vn若Z,收敛，而u,,w,，则≥u,收敛，n=1n=*2、,发数。而小,儿,发胶之和,收微性相间若n=1n=I=0008个个高等教学教学部不个

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?"=0,则对于ε=1,存在正整数 N，当n>N时,因lim(2)n->00Vn有|",-1k1, 则"n01n-0un8080Z推收敛，u,收敛可推由(2)知,n=1n=180Zi则当，发散时，可推u,必发散n=1n=18008个个个高等数学教学部不不不

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:是发散的例 4 证明级数n(n+ 1)n=1 Vn(n+1)=1,而 发散，则lim发散解11-00(n(n+1)=in11n00in(1+例 5判断级数，)的收敛性nn=111In(1 +80n2Zlim收敛，则In(1+)收敛而= lim解=1,11n-00n-00nn=11=nn00108个个个高等数学教学部个不个

高等数学教学部 9 1, 1 ( 1) 1 lim    n n n n 2 2 1 ) 1 ln(1 lim n n n   1, 1 1 lim 2 2    n n n

Z(1-cos );(2) Z3例6判断下列级数的收敛性：（1）13"_2nn=1111-cos2n?n= lim而之早(1)lim解收敛,则之(1-cos-)收敛.12,11-00n->00nnn=1n=1n?180.3" -2"NZ收敛lim收敛，则而=(2) lim12n3″n-00n=13"n->00n=13n00810个个个高等数学教学部不不个

高等数学教学部 10 2 1 1 1 cos (1)lim n n n   , 2 1 1 2 1 lim 2 2    n n n n n n n 3 1 3 2 1 (2)lim   n n ) 3 2 1 ( 1 lim     1