《高等数学》课程教学资源（课件讲稿，下册）第11章 第3讲 格林公式及其应用（1/2）

11.3格林公式及其应用人民邮电出版社RISOPRES

11.3 格林公式及其应用 1

本讲内容01格林公式02平面上曲线积分与路径无关的条件03二元函数的全微分

本讲内容 02 格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件 01 03 二元函数的全微分

本讲内容格林公式01

本讲内容 01 格林公式

①平面单连通区域与复连通区域单连通：区域D内任一闭曲线所围的部分都属于D不含有“洞”的区域例复连通：区域D内有一闭曲线所围的部分不属于D含有“洞”的区域例：

Ø平面单连通区域与复连通区域 单连通: 区域D内任一闭曲线所围的部分都属于D 不含有“洞”的区域 例： 复连通: 区域D内有一闭曲线所围的部分不属于D 含有“洞”的区域 例：

①平面闭曲线的正向区域D的边界曲线为L,当观察者沿L行走时，区域D总在他的左边区域的外部边界：逆时针方向闭曲线的正向区域的内部边界：顺时针方向

Ø平面闭曲线的正向 区域D的边界曲线为L,当观察者沿L行走时, 区域D总在他的左边. 区域的外部边界: 闭曲线的正向 区域的内部边界: 逆时针方向 顺时针方向

OOA一、格林公式定理11.3设平面有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,),Q(x,）qPo.a0N Pdx+ dy- 0在D上有一阶连续偏导数，则有dJy o其中L是D的取正向的整个边界曲线注1.注意1和的顺序Ixy2.D可以是单连通区域也可以是复通区域3.L为区域D的所有边界曲线，均取正向，P

一、格林公式 6 定理11.3 l注 3.L为区域D的所有边界曲线,均取正向

Poa0OAAN Pdx + Ody =-ds+证（1）假定区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直线的交点不超过两个，即区域D既是X型又是Y型J+ L, : J=j,(x)(x. yP4110yXO P(x, yO(Pgx.j2(x)-Pgxj1(x)elxJPdx = 0 P(x,y)dx + 0 P(x,y)dx = 0 Pgx;j.(x)dx+ Pgx,j 2(x)edxP所以Pdx= - 0.ds/1

7

OAH一、格林公式20)1Q(x, ydydx=0g0(x=0 (0 2(),y- 01(v),ye)d)Dy()SOdy = 0 Q(x, y)dy + o O(x, y)dy0X0 1(),yedy+00 2(v),yedy0 2(),yt- 1(0),yefdyNay oat.所以-D8

8 一、格林公式

OA一、格林公式(2)若区域D不满足上述条件，则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域，如图所示IPo.aQ.ds8y ox0nadPdx+Qdy（D,表示D的正向边界）Pdx+Qdy

9 一、格林公式

?po.aQPdx+Ody=-dsJyo1.#格林公式建立了二重积分与曲线积分之间的联系，提供了计算曲线积分的另一方法2.面积公式取P=-y,Q=x,2

10