《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 向量代数与空间解析几何_0805曲面及其方程

第八章向量代数与空间解析几何第五节曲面及其方程曲面研究的基本问题旋转曲面三、柱面四、二次曲面08

第八章 向量代数与空间解析几何 第五节 曲面及其方程 一、曲面研究的基本问题 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面

曲面研究的基本问题福曲面研究的基本问题：已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；(1)(2)已知坐标x，y,z间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状.1、建立曲面方程例 1 建立球心在点M,(xo,Jo,z）、半径为R的球面方程解设M(x,J,z)是球面上任一点，根据题意有IMM。=R,(x-x,) +(y-yo)" +(z -zo)~ = R,(x-x)° +(y- yo)2 +(z- z) = R2,球面的标准方程球心在原点时方程为x? + y?+z? = R?.001018中个不个高等数学教学部不不个

高等数学教学部 2 | | , MM0  R ( ) ( ) ( ) , 2 0 2 0 2 x  x0  y  y  z  z  R ( ) ( ) ( ) , 2 2 0 2 0 2 x  x0  y  y  z  z  R . 2 2 2 2 x  y  z  R

S例 2 求与原点0及M,(2,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程IMO|解设M(x,J,z)是曲面上任一点，依题意得IMM,12x+y+z?Vx-2)+(0-3)+(z-4)2agy+1+y-1.所求方程为9例 3 已知A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求线段AB的垂直平分面的方程解设M(x,y,z)是曲面上任一点，依题意得 「MA}=|MBI,/(x-1) +(y-2) +(z-3) = /(x-2) +(y+1) +(z-4)所求方程为 2x -6y + 2z - 7 = 0.001018福个不高等数学教学部不不不

高等数学教学部 3 , 2 1 | | | | 0  MM MO       , 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2         x y z x y z . 9 116 ) 3 4 ) ( 1) ( 3 2 ( 2 2 2 x   y   z   | MA|| MB |,       2 2 2 x  1  y  2  z  3  2  1  4 , 2 2 2  x   y   z  2x  6 y  2z  7  0

S2、确定方程曲面的形状例 4 方程x2+y2+z2+Ax+By+Cz+F =0表示什么样的曲面？解　此为球面的一般方程，配方得D2+ E2+F2 -4G(x+)+(y+)+(2+)124DEF军当D2+E2+ F2－4G>0时，方程表示球面，球心(-解n2D2+ E2+ F2 - 4G半径为2福H当D2+ E2+ F2－4G =0时，方程表示一点(o不不个高等数学教学部不不个

高等数学教学部 4 , 4 4 ) 2 ) ( 2 ) ( 2 ( 2 2 2 2 2 F 2 D E F G z E y D x         

例 5 方程z=(x-1)2+(y-2)2-1表示什么样的曲面？解用平面z=c去截图形得圆：Z(x-1)+(y-2)’=1+c (c≥-1)当平面z=C上下移动时，得到一系列圆圆心在（1,2)，半径为~1+c；半径随c的增大而增大；图形上不封顶，下封底108个不不高数学教学部不不个

高等数学教学部 5 ( 1) ( 2) 1 ( 1) 2 2 x   y    c c   z x o y c

-二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面，旋转曲线叫做旋转曲面的母线，这条定直线叫做旋转曲面的轴Z设在 yoz 坐标面上有一已知曲线M i(0, y1,z1)C:fy,z)=0，当C绕z轴旋转就得到一个以tMz轴为旋转轴的旋转曲面SC: f(y,z)=0设M(x,V,z)为旋转曲面上任一点，它一定是由 C 上一点旋转来的，记为yM,(0, J1,z),则f(Ji,z,)= 0,z= zi,d =Vx + y =yil, 即xz=z，=±x2+y2，可得旋转曲面 s 的方程 f(±x2+2,z)=0易知，不在曲面S的点的坐标不会满足曲面S的方程可知，yoz坐标面上的已知曲线f（y,z）=O绕 z轴旋转一周的旋转曲面方程为f(±/x2 + y2, z) = 00008不不高等教学教学部不不

高等数学教学部 6 x o z y C : f ( y,z)  0 ( 0 , , ) 1 1 1 M y z  M d , , 2 2 1 1 z  z y   x  y

同理，yvoz坐标面上的已知曲线f（y,z）=0绕v轴旋转一周的旋转曲面方程f(y,±/x? +z)= 0.为zox坐标面上的已知曲线f(x,z)=0绕x轴旋转一周的旋转曲面方程为f(x,± /y2 +z2) = 0.zox坐标面上的已知曲线f(x,z)=0绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为f(+/x* + y2, z)=0.xoy坐标面上的已知曲线f(x,y)=0绕x轴旋转一周的旋转曲面方程为f(x,±y +z)=0xoy坐标面上的已知曲线f(x,y)=0绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为f(±/x? +z, y)=0.0008个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 7 ( , ) 0. 2 2 f y  x  z  ( , ) 0. 2 2 f x  y  z  ( , ) 0. 2 2 f  x  y z  ( , ) 0. 2 2 f x  y  z  ( , ) 0. 2 2 f  x  z y 

例6直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角α(0<α<")叫圆锥面的2半顶角.试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α的圆锥面方程7解voz面上直线方程为z=ycotα圆锥面方程z=±x2+y2cotαz? =a(x2 + y2),a =cotα.VX80008不不不高等数学教学部不不个

高等数学教学部 8 z  y cot, cot , 2 2 z   x  y  ( ), cot . 2 2 2 2 z  a x  y a   x o y z  L

x-例 7 双曲线1分别绕x轴和z轴旋转一周，求形成的旋转曲面2a的方程大+zy解绕x轴旋转双叶旋转双曲面=1a2x? + y?绕z轴旋转单叶旋转双曲面a?00108个不不高等数学教学部不不不

高等数学教学部 9 绕z轴旋转 1 2 2 2 2 2    c y z a x 1 2 2 2 2 2    c z a x y x z y o x z y o

三、柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面，这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线例71平面y2 = 2xyyy=xxx抛物柱面o810不不不高数学教学部不不不

高等数学教学部 10 x o z y x o z y y 2x 2  抛物柱面 y  x 平面