《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章 曲线积分与曲面积分_D11_1对弧长的曲线积分

第十一章曲线积分乌曲面积分曲面积分曲线积分积分学定积分二重积分三重积分空间域曲线域曲面域积分域区间域平面域对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分曲面积分对坐标的曲面积分

第十一章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分

第十一章第一节对狐长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法HIGHEDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十一章

一、对弧长的曲线积分的概念与性质1.引例E曲线形构件的质量B假设曲线形细长构件在平面所占Mu(xy)弧段为AB,其线密度为(5,n.)As，采用为计算此构件的质量，Mi-1“分割，近似表示，求和，取极限A可得M = lim E u(Si,n,)As1-01HIGHEDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

A B 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在平面所占 弧段为AB , 其线密度为 “分割，近似表示，求和，取极限” 可得 M = 为计算此构件的质量, 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.定义设L为xOy平面内的一条光滑曲线，函数f(x,y)在L上有界．在L 上任意插入一点列Mi,M2，.….，M-设第i个小段的长度为△si，（i，ni把L分成n个小段为第i个小段上任意取定的一点.作乘积f（i，n)△sif(si,n,)As,，如果当各小弧段的长度的最大值并作和i=1几一0时，和式极限总存在，则称此极限为函数f（x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） f (x,y)ds记作HIGHEDUCATIONPRESS

2.定义 设 L 为xOy 平面内的一条光滑曲线，函数 在 L 上有界. 在 L 上任意插入一点列M1 , M2 , . , Mi-1 把 L 分成 n 个小段. 设第 i 个小段的长度为si , (i , i ) 为第 i 个小段上任意取定的一点. 作乘积 f (i , i ) si 并作和 如果当各小弧段的长度的最大值 →0时，和式极限总存在，则称此极限为函数 在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） 记作

f (x,y)ds =limf(si,n)Asi,1>0i=l注:1.若函数f(x,v)在L上连续，则一定可积2.物理意义（曲线形构件的质量）:M=μ(x,y)dsf (x,y,z)ds3.沿空间曲线情形pf (x,y)ds4.沿封闭曲线情形HIGH EDUCATION PRESS

注: 2.物理意义（曲线形构件的质量）： 3.沿空间曲线情形： 4.沿封闭曲线情形：

3.性质（以沿平面曲线积分为例）（1）线性性质：[[af (x,y)+bg(x, y)]ds =af, f (x, y)ds+bf, g(x, y)ds（2）可加性：f (x,y)ds = [. f (x,y)ds + f (x,y)ds：若在曲线L上f（x,y)≤g（则y）（3）不等式性质J.f (x, y)ds≤J,g(x, y)ds(4)ds=s（L的弧长）HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

3. 性质（以沿平面曲线积分为例） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1）线性性质： （2）可加性： （3）不等式性质：若在曲线L上 ，则 （4）

二、对弧长的曲线积分的计算法转化一、计算定积分求曲线积分基本思路：设f(x,y)是定义在光滑曲线弧定理：L:x=Φ(t),y=y(t) (α≤t≤β)/(x,y)ds存在,且上的连续函数，则曲线积分61~ f[p(t),y(t)Ig'2(t)+ y'?(t)dt[, f(x,y)ds =福证：根据定义Ef(si,n)As,[, f(x,y)ds = lim元0i1HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

  =  +    f x y ds f  t  t  t  t t L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 上的连续函数, 且 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设各分点对应参数为t（i=0,l,n)点(5i,n)对应参数为 T, E[ti-1,t,]@"(t)+y"()dtLS(t)+y(t')At, t,e[ti-1,t)l则 J, f(x,y)dsn=limEf[g(t,),y(t,)1 /p"(t)+y"(t;)At元0i-l注意"(t)+y"(t)连续n=limf[p(t),y(t)I /'(t)+y'(t)At72->0ilHIGHEDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

点 注意  2 (t) + 2 (t )连续 设各分点对应参数为 对应参数为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此[L f(x,y)dsTf[p(t),y(t)lVp'-(t)+y'(t)d t说明：(I)：△s,>0,.△t,>0,因此积分限必须满足α<β ！(2)弧微分ds = /(dx)? +(d y)ds/dyVp(t)+y'-(t)d tdxxxHIGH EDUCATION PRESS返回机动上页结束自录下页

dx dy ds x y o 说明: 因此积分限必须满足    ! (2) 弧微分 2 2 ds = (d x) + (d y) (t ) (t ) d t 2 2 =  + x 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束

（3）如果曲线 L的方程为=(x)(α≤x≤b),则有[ f(x, y)ds = [~ f(x,y(x))/ 1+y"2(x)dx x=(y)（c≤y≤d）则有曲线L的方程为[ (x,y)ds = " f(o0),y)/1+p2(y)dy（4）设空间曲线弧的参数方程为I : x =Φ(t), y= y(t), z=w(t) (α≤t ≤β )则I f(x, y,z)dsBf(q(t),y(t),o(t) )/0L(t)+TdHIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动目录

（3）如果曲线 L 的方程为 则有 （4）设空间曲线弧的参数方程为  : x = (t), y = (t), z =(t) (  t   ) 则  f (x, y,z)ds (t) (t) (t) d t 2 2 2  + + 1 (x) dx 2 +  = b a f (x, (x))  =   f ((t) , (t),(t) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线 L 的方程为 则有