《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章无穷级数_第十二章习题课

第十二章习题课级数的收敛、求和与展开一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法三、幂级数和函数的求法四、函数的幕级数和付式级数展开法HIGH EDUCATION PRESS上页下页机动目录返回结束

习题课 级数的收敛、求和与展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 第十二章

iu()求和S(x)（在收敛域内进行)展开n=0当 x=xo 时为数项级数;i.0)当 un(x)=anx"时为幂级数：n=0当 un(x) = an cos nx +bn sin nx(an,bn为傅氏系数)时，为傅立叶级数基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页机动返回结束

求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数. 时为数项级数; 时为幂级数; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法●发散必要条件 lim un=O不满足n??满足Un+1比值审敛法lim部分和极限unn??1=1比较审敛法不定用它法判别根值审敛法lim一7Uh积分判别法n??r >l收敛发散HIGHEDUCATION PRESS下页机动目录上贝返回结束

一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.任意项级数审敛法?概念：a un为收敛级数n=l??a若lun收敛，称a1un 绝对收敛iin=1n=1ta?若un发散，称aun条件收敛n=1n=l若un3 un+1>0，且 lim un =0,Leibniz判别法：n???fun+la（-l)"un 收敛，且余项In则交错级数n=1HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法: 若 且 则交错级数 收敛 , 概念: 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束

??例l.若级数? a与? b，均收敛,且 αnfcnfb,n=1n=1?(n=l,2,L ）,证明级数 a cn收敛n=1证:QOfcn-αnfbn-αn (n=l,2,L),则由题设??Ca (bn-an)收敛a(cn-αn)收敛n=1n=1??a cn=a [(cn-an)+an]n=ln=la (cn-an)+a an 收敛=n=1n=lHIGHEDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例1. 若级数 均收敛 , 且 证明级数 收敛 . 证: 则由题设 收敛 收敛 收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P322题2.判别下列级数的敛散性2???np(n!)2ncos0(3) a(2) a(1) a2nn=I n'/n2nn-1n=1?02?(4) a(5) a(a>0, s>0)10n=1 nsn=2ln'提示:(1)Q limn/n=l,\"e>0,$N,当n>N时,有n??l- e <n/n<l+enn/nn(l+e)因调和级数发散，据比较判别法，原级数发散HIGHEDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

P322 题2. 判别下列级数的敛散性: 提示: (1) 据比较判别法, 原级数发散 . 因调和级数发散, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

?(n!)(2) a利用比值判别法可知原级数发散2n2?n=ln用比值法,可判断级数a收敛，2?npncosn=12n3(3) a2n再由比较法可知原级数收敛n-1?￥a(4) 因n充分大时oa发散10一2lnn=Inn=2n..原级数发散?Qh(5) a(α>O,s>O):用比值判别法可知:n=l nsαl时发散时收敛：s>lα=l时,与p级数比较可知时发散sflHIGHEDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

利用比值判别法, 可知原级数发散. 用比值法, 可判断级数 因 n 充分大时 ∴原级数发散 . 用比值判别法可知: 时收敛 ; 时, 与 p 级数比较可知 时收敛; 时发散. 再由比较法可知原级数收敛 . 时发散. 发散, 收敛, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

??P323题3.设正项级数a un和a vn都收敛,证明级n=ln=1数?a(un+vn)也收敛n=1=0,存在 N>0,当n>N时lim Vnlim Un=提示：因hn??n??u又因un+vn+V2(u）) N)P利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

P323 题3. 设正项级数 和 也收敛 . 提示: 因 ￾ 存在 N > 0, 又因 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确. 都收敛, 证明级 数 当n >N 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束

?Vn=1,问级数P323题4.设级数a un 收敛，且 limn??unn=1、,是否也收？说期理由。n=1?a vn收敛,提示：对正项级数,由比较判别法可n=l但对任意项级数却不一定收敛。例如，取D-儿n(- 1)nn=1+limlimn??n??unn?级数a un收敛,级数a vn 发散n=l1n=1HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

P323 题4. 设级数 收敛 , 且 是否也收敛？说明理由. 但对任意项级数却不一定收敛 . 问级数 提示: 对正项级数,由比较判别法可 知 级数 收敛 , 收敛, 级数 发散 . 例如, 取 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P323题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性?￥Sina (- 1)n+1 sn+a (-l)"n+12pn=1n=1?￥n+la (-1)n(n+1)!a (-l)"ln43)n+1nnn=ln=1提示：(1)P>1 时,绝对收敛0<p≤1 时,条件收敛;p≤0 时,发散?a收敛，故(2)因各项取绝对值后所得强级数n+1n=1p原级数绝对收敛HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

P323 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ;0 < p ≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 . 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束