《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十章重积分_第十章习题课

第十章习题课及应用重积分的计算重积分计算的基本方法重积分计算的基本技巧二、三、 重积分的应用HIGH EDUCATION PRESS下页返回机动自录上贝结束

习题课 一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章 重积分的 计算 及应用

一、重积分计算的基本方法累次积分法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面（线）围成被积函数用此坐标表示简洁或变量分离2.选择易计算的积分序积分域分块要少，累次积分易算为妙3.掌握确定积分限的方法图示法(从内到外：面、线、点）列不等式法HIGHEDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

一、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 3. 掌握确定积分限的方法 —— 累次积分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

练习P1853(3); 7; 8 (1), (3)补充题：(xy)d,其中D由y22x,计算积分xy4，xy12所围成解答提示：(接下页)HIGHEDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束

练习 计算积分 其中D 由 所围成. P185 3 (3) ; 7; 8 (1), (3) 补充题: 解答提示: (接下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P185/R? x?y? d,3(3).计算二重积分其中D为圆周x2y2Rx所围成的闭区域提示：利用极坐标rRcosOrRcosD :80号000号RxLRcos原式PddF4口)d1sin-R3(HIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束

3 (3). 计算二重积分 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P185

f(x,y,z)dxdydz化为三次积分8.把积分P186x2y22及平面yl,zo其中口由曲面所围成的闭区域提示：积分域为0zx2□y:3x?y11x 01原式口「dxf(x, y,z)dzdyHIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

8. 把积分 化为三次积分, 其中￾ 由曲面 提示: 积分域为 原式 及平面 所围成的闭区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P186

P186 9（1).计算积分dxdydz，其中是两个球x2y2 z2 R2及x2 y2 z2□2RzR-2R（R>0)的公共部分提示：日由于被积函数缺x，，利用先二后一”计算方便Rdxdy原式=dxdydzdz口R2R四(R2 z)dz(2Rzz2)7Odz口D59RS480HIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束

9 (1) .计算积分 其中￾ 是两个球 ( R > 0 )的公共部分. 提示: 由于被积函数缺 x , y , 原式 = 利用“先二后一” 计算方便 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P186

(y2z2)dv,其中是P1869(3).计算三重积分xoy平面上曲线y22x绕x轴旋转而成的曲面与平面x口5所围成的闭区域xx提示：利用柱坐标yrcoszrsinx50rV100口20250原式dxdlHIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束

9(3).计算三重积分 其中￾ 是 xoy平面上曲线 由 所围成的闭区域 . 提示: 利用柱坐标 原式 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P186

(xy)d,其中D由y22x,补充题.计算积分xy4，xy12所围成2x420提示：如图所示D□D2/D1DP2xf(x,y)口xy在D内有定义且D4连续，所以6(x口y)d(xy)dC (xy)dD120y(x y)dx(xy)dx口dl1154315HIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束

补充题. 计算积分 其中D 由 所围成 . 提示:如图所示 连续,所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、重积分计算的基本技巧1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算分块积分法3.消去被积函数绝对值符号利用对称性4.利用重积分换元公式练习题P186 5, 9(2), 12P1851（总习题九）解答提示：(接下页）HIGHEDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

二、重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 练习题 4. 利用重积分换元公式 P185 1 (总习题九) ; P186 5, 9(2), 12 解答提示: (接下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

P1865.证明：m(ax)(a x)em(ax)f(x)dx f(x)dx提示：左端积分区域如图aDyux交换积分顺序即可证得?x0VDzzn(xOP1869(2). 求dv,其中是x2 □y2□=2 □1x2y2z2□1 所围成的闭区域由球面提示：被积函数在对称域口上关于z为奇函数利用对称性可知原式为0HIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束

证明: 提示: 左端积分区域如图, 交换积分顺序即可证得. P186 5. 9(2). 其中￾ 是 所围成的闭区域 . 提示: 被积函数在对称域 ￾ 上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由球面 P186