《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章多元函数微分法及其应用_第三节全微分

第三节全微分、全微分的定义一二、全微分在近似计算中的应用三、二元函数可微的几何意义返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第三节 全微分 一、全微分的定义 *二、全微分在近似计算中的应用 三、二元函数可微的几何意义

第三节全微分一、全微分的定义1.多元函数的增量设z=f (x,y),Az=f(x+△x,)-f(x,y) 称为z对x的偏增量A,z=f(x,+Ay)-f(x,) 称为z对y的偏增量△z=f(x +△x,+Ay)-f(x,J) 称为全增量下页返回MathGS公式数学家上页线与面

第三节 全微分 一、全微分的定义 1. 多元函数的增量 设 z = f (x , y)， x z = f (x + x , y) - f (x , y) 称为 z 对 x 的偏增量； y z = f (x , y + y ) - f (x , y) 称为 z 对 y 的偏增量； z = f (x + x , y + y) - f (x , y) 称为全增量．

第三节全微分2.可微的定义定义女如果函数z=f（x,)在定义域D的内点(x，）处的全增量Az=f(x+Ax+Ay)-f(x)可表示成△z =A△x +B Ayl+o(p), p= /(x)? +(Ay)?其中A，B不依赖于△x，Ay，仅与x，y有关，则称函数f(x,J)在点(x,J) 可微,A△x+B△称为函数f(x,)在点（αx，J）的全微分，记作dz = d f = AAx + By女在D内可微若函数在域D内各点都可微，则称此函数MathGS上页下页返回公式数学家线与面

第三节 全微分 定义如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )  z = Ax + B y + o( ) , 其中 A , B 不依赖于x , y , 仅与 x , y 有关， 称为函数f ( x, y ) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz = d f = Ax + By . 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处的全增量 z = f (x + x , y + y) - f (x , y) 可表示成 则称此函数在D 内可微. A x B y Δ + Δ ( ) ( ) , 2 2  = x + y 2. 可微的定义

第三节全微分可微与连续的关系设z=f(x,y)在(x,J)可微，即△z = A△x + B Ay+o(p),则 lim△z = lim [(A△x + B△y)+o(p)]= 0(Ax,Ay)→(0,0)p-0萬得limf(x+△x,y+Ay) = f(x,y)(Ax,Ay)-→(0,0)即函数z=f(α)在点(α)可微函数在该点连续MathGS上页下页返回公式线与面数学家

第三节 全微分 可微与连续的关系 设z = f (x , y)在(x , y)可微，即  z = Ax + B y + o( ) , 则 lim ( ) ( ) 0   = Ax + By + o → 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 ( , 0,0 ) ( ) lim ( , ) x y f x x y y   → 得 +  +  ( , 0,0 ) ( ) lim x y z   →  = 0, = f (x, y). 函数在该点连续 即

第三节全微分3.可微的条件定理1(必要条件）若函数z=f(xJ）在点(xJ)可微Ozaz必存在，且有则该函数在该点的偏导数axoyazozdz=AyAx+oxay证明台定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)的偏导数f(x,y),f(x,y)在点(x,y)连续，则函数在该点可微分证明台返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第三节 全微分 3. 可微的条件 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y)可微, 则该函数在该点的偏导数 y z x z     , 必存在，且有 d y . y z x x z z     +   = 第三节 全微分 证明 因函数在点(x, y) 可微, 故  z = Ax + By + o(  ), z f (x x, y) f (x, y) A x o( x ) . x = +  − =  +  令y=0，得到对 x 的偏增量 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y)可微, 则该函数在该点的偏导数 y z x z     , 必存在，且有 d y . y z x x z z     +   = 定理2 (充分条件) 若函数z = f (x, y)的偏导数 fx (x, y), fy (x, y)在点(x, y)连续，则函数在该点可微分. 第三节 全微分 证明 = [ f (x + x, y + y) ] 定理2 (充分条件) z = f (x + x, y + y) − f (x, y) (0 , 1 ) 1  2  f x y x = [ x ( , ) + ]       f x y y y = f x (x +1 x, y + y)x + y ( , + 2  ) − f (x, y + y) +[ f (x, y + y ) − f (x, y)] f x y y +[ y ( , ) + ] 若函数z = f (x, y)的偏导数 f x (x, y), fy (x, y)在点(x, y)连续，则函数在该点可微分.   lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x

第三节全微分4.连续、偏导数存在、可微的关系N函数连续偏导数存在1+函数可微+偏导数连续返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第三节 全微分 4. 连续、偏导数存在、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数存在 偏导数连续

第三节 全微分证明函数反例1,x+y+0,/x2+1f(x,y) =<0,x? +y? = 0在(0，0)处的两个偏导数都存在，但函数在该点不可微证明台返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第三节 全微分 反例1 证明函数      + = +  = + 0 , 0 , 0 , ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 在(0 , 0)处的两个偏导数都存在，但函数在该点不可微. 第三节 全微分 证明 反例1 证明函数 在(0 , 0)处的两个偏导数都存在，但函数在该点不可微. 0 , (0 ,0) (0,0) (0,0) lim 0 =  +  − =  → x f x f f x x 同理可得 0 , (0,0 ) (0,0) (0,0) lim 0 =  +  − =  → y f y f f y y 即在(0 , 0)处的两个偏导数都存在.      + = +  = + 0 , 0 , 0 , ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y

第三节全微分证明函数反例2+yJ2,2f(x, y)=V+0.x2 + y? = 0在(0，0)处可微，但两个偏导数在该点都不连续证明台返回MathGS公式数学家上页下页线与面

第三节 全微分 反例2 证明函数      + = +  + + = 0 , 0 , 0 , 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 在(0 , 0)处可微，但两个偏导数在该点都不连续. 第三节 全微分 证明 x f x f f x x  +  − =  → (0 ,0) (0,0) (0,0) lim 0 同理可得 0 . (0,0 ) (0,0) (0,0) lim 0 =  +  − =  → y f y f f y y 反例2 证明函数      + = +  + + = 0 , 0 , 0 , 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 在(0 , 0)处可微，但两个偏导数都不连续. 0 , ( ) 1 ( ) sin 2 2 0 lim =  =   → x x x

第三节全微分类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题例如,三元函数u=f(x,y,z)的全微分为OuOududu=Az.△x +Ay+Oxazay习惯上把自变量的增量用微分表示，于是OuOuQudu=dx+dy+CoxayOzd.du记作d.u2dxu,du,d,u称为偏微分．故有下述叠加原理du=du+d,u+d,u返回MathGS公式数学家上页下页线与面

第三节 全微分  +   x x u 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u = f (x, y,z) d u = 习惯上把自变量的增量用微分表示, d u = 记作 故有下述叠加原理 du d u d u d u . = x + y + z 称为偏微分. d z . z u   + uz d 的全微分为  +   y y u z . z u    于是 u u u x y z d ,d ,d

第三节全微分例1计算函数z=e在点(2,1)处的全微分OzOZ=eyvery解OxayOzaz=2e?=e~,OxQy[(2,1)(2,1)=e?d x+2e?dy=e?(d x+2d y)dz(2,1)例2 计算函数 u= x+ sin +eyz白的全微分。2解 du= 1.dx+(cos+zej")d y+ye"dz.MathGS上页下页返回公式线与面数学家

第三节 全微分 例1 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解 =   x z 2e . (2,1) e , (2,1) 2 2 =   =   y z x z 例2 计算函数 的全微分. 解 d u = y y ( cos )d 2 2 1 + =   y z e , xy y e , x y x yz ze