《数学分析》课程教学课件（讲稿）傅里叶级数

81傅里叶级数一个函数能表示成幂级数给研究函数带来果便利，但对函数的要求很高（无限次可导）.如公简函数没有这么好的性质，能否也可以用一些单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数级呢？这就是将要讨论的傅里叶级数·傅里叶茶数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用，是又一类重要的级数一、三角级数·正交函数系二、以2p为周期的函数的傅里叶级数三、收敛定理后页返回前页

前页 后页 返回 §1 傅里叶级数 一个函数能表示成幂级数给研究函数带来 便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果 函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简 单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数 呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级 数在数学、物理学和工程技术中都有着非常 广泛的应用, 是又一类重要的级数. 返回 一、三角级数·正交函数系 三、收敛定理 二、以 为周期的函数的傅里叶级数

一、三角级数·正交函数系在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动.最简单的周期运动，可用正弦函数(1)y=Asin(wx+j )来描述.由（1)所表达的周期运动也称为简谐振动其中A为振幅 1 为初相角,W 为角频率,于是简诺振动y 的周期是 T= 2。 较为复余的周期运动, 则w常常是几个简谐振动后贡邀回前页

前页 后页 返回 一、三角级数·正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一 种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数 来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动, 其中A为振幅. 为初相角, 为角频率, 于是简谐 振动y 的周期是 较为复杂的周期运动, 则 常常是几个简谐振动

ys = A, sin(kwx+j ),k =1,2,L ,n的叠加：nn(2)y=a ys =a A, sin(kwx+j r).k=1k=1T ae,2元0由于简诸振动,的周期为k =1,2,L ,n,1kεw0所以函数（2)周期为T.对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数N(3)A +a A, sin(mwx+j ,).n=1若级数(3)收敛，则它所描述的是更为一般的周期运邀回后页前页

前页 后页 返回 由于简谐振动 的周期为 所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数 的叠加： 若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运

动现象 对于级数(3),只 须讨论 W =1(如果 W 1 1可用WX代换x)的情形. 由于sin(nx +j n) = sinj , cosnx + cosj , sinnx,所以￥A, +a A, sin(nx+j n)n=1?(39= A, + a (A, sinj , cosnx + A, cosj n sinnx).（n=1-"g, A, sinj ,=a,A,cosj , =b,n=1,2,L,记 A.2后贡邀回前页

前页 后页 返回 动现象. 对于级数(3), 只须讨论 (如果 可 用 代换x )的情形. 由于 所以

则级数(3）可写成￥'f + a (a, cos x + b,sin nx).(4)2n=1它是由三角函数列（也称为三角函数系）1,cos x,sin x,cos2x,sin 2x,L ,cos nx,sin nx,L(5)所产生的一般形式的三角级数容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一个以2元为周期的函数关于三角级数（4)的收敛性有如下定理：返回前页后贡

前页 后页 返回 它是由三角函数列(也称为三角函数系) 所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一 个以 为周期的函数. 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理: 则级数( )可写成

定理15.1若级数￥Lagl + a ( a, I + b, ).2n=1收敛，则级数（4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛证对任何实数x，由于I a, cosnx +b, sinnx |f| a, I +Ibn l,根据优级数判别法，就能得到本定理的结论为进一步研究三角级数(4)的收敛性，先讨论三角函数系(5)的特性.首先容易看出三角级数系(5)中所后贡巡回前页

前页 后页 返回 定理 15.1 若级数 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证 对任何实数x,由于 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所

有函数具有共同的周期2元，其次，在三角函数系(5)中，任何两个不相同的函数的乘积在[-p,pl止上的积分等于零,即元(6)0, cos nxdx =0, sin xdx =0,元U0'n),cos mxcos nxdx =0 (m 1 r2元0(7)sin mx sin nxdx =0 (m ' n), yicos mxsin nxdx =0.0元b而(5)中任何一个函数的平方在 [-元, 元] 上的积分都后贡巡回前页

前页 后页 返回 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数 有函数具有共同的周期 的乘积在 上的积分等于零,即 而(5)中任何一个函数的平方在 上的积分都

不等于零，即uO, cos" nxdx = 0' sin?xdx=元(8)y10, 1'dx =2 元b7若两个函数] 与y 在[a,b] 上可积,且gi (x)y (x)dx =0则称j 与 在[a,b] 上是正交的, 或在[a,b]上具有正文性. 由此三角函数系(4)在 [- 元,元] 上具有正交性,或者说(5)是正交函数系后贡巡回前页

前页 后页 返回 不等于零, 即 若两个函数 与 在 上可积, 且 则称 与 在 上是正交的, 或在 上具有正 交性. 由此三角函数系(4)在 上具有正交性. 或者说(5)是正交函数系

二、以2p为周期的函数的傅里叶级数现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)的和函数f 与级数(4)的系数o,a,,b,之向的关系。若在整个数轴上定理15.2?f(x)="g+a (a, cos nx+b, sinnx)(9)-2n=-1且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：17f(x)cosnxdx , n = 0,1,2,L ,(10a)a.=1T元1b.=(10b)f(x)sinnxdx , n =1,2,Ln元后贡巡回前页

前页 后页 返回 现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级数(4)的系数 之间的关系. 定理15.2 若在整个数轴上 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: 二、以 为周期的函数的傅里叶级数

证由定理条件,函数f 在[-p,p]上 连续且可积.对(9）式逐项积分得o,f(x)dx￥ao"dx + a (a. O, cos nxdx + b, O, sin nxdx).Q2n=1由关系式(6)知，上式右边括号内的积分都等于零所以(x)dx = "g 2 元 = a, ,2后贡邀回前页

前页 后页 返回 证 由定理条件, 函数 f 在 上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得 由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以