《数学分析》课程教学课件（讲稿）重积分的应用

$6重积分的应用应用重积分可求立体的体积及空问物体的质量，还可求曲面的面积、立体的重心、转动惯量和物体之间的引力等。曲面的面积{重心三.转动惯量引力四岚回后页前页

前页 后页 返回 §6 重积分的应用 应用重积分可求立体的体积及空间物 体的质量, 还可求曲面的面积、立体的重 心、转动惯量和物体之间的引力等. 一． 曲面的面积 二． 重心 三． 转动惯量 四． 引力 返回

一、曲面的面积设D为可求面积的平面有界区域，f(X,J)在D上具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程z = f(x,y),(x,y)I D所表示的曲面 S的面积(1)对区域D作分割 T,把D 分成 n 个小 区域 S i(i=1,2,L ,n).这个分割相应地将曲面S也分成n 个小曲面许 S,(i =1,2,L ,n)(2)在每个S,上任取一点Mi,作曲面在这一点的切后贡回前页

前页 后页 返回 一、曲面的面积 设D 为可求面积的平面有界区域, 在 D 上 具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程 所表示的曲面 S 的面积. (1) 对区域 D 作分割 T，把 D 分成 n 个小区域 . 这个分割相应地将曲面S 也分成 n 个 小曲面片 (2) 在每个 上任取一点 , 作曲面在这一点的切

平面Pi, 并在 P;上取出一小 块 A,使得 A, 与 S, 在xy平面上的投影都是 s ,(见图 21-38). 在点 M,附近用切平面 A,代替小1zS: z=f(x,J)曲面片 S, 从而当 TM,E充分小时,有S.nn0DS =a DS, a DA,rDi=-1i-1这里 DS, DS, DA,分别图21-38后页巡回前页

前页 后页 返回 近用切平面 代替小 曲面片 从而当 充分小时, 有 平面 , 并在 上取出一小块 , 使得 与 在 这里 分别 平面上的投影都是 (见图 21-38). 在点 附

表示 S,S,,A,的面积n(3) 当[T|? 0 时, 定义和式a DA;的极限(若存在)i-1作为S的面积现在按照上述曲面面积的概念，来建立曲面面积的计算公式为此首先计算 A, 的面积. 由于切平面元;的法向量就是曲面 S 在点 M,(x,h,V)处的法向量 n, 记它与 z轴的夹角为g;，则巡回前页后贡

前页 后页 返回 (3) 当 时, 定义和式 的极限(若存在) 现在按照上述曲面面积的概念, 来建立曲面面积的 计算公式. 为此首先计算 的面积. 由于切平面 的法向量就 是曲面S 在点 处的法向量 n, 记它与 z 作为 的面积. 表示 的面积. 轴的夹角为 则

1I cos(n,z) / = | cosg; /=1+ f'(x,h,)+ f,(x,h,)因为A,在xy平面上的投影为s，，所以D+=1+f(x,h,)+f(x,h,) Ds ,DA;cosg注意到和数na DA, =a/1+ f°(x,h,)+ f,(x,h,)Ds i-1i-1是连续函数 /1+F:(x,J)+ f;(x,J) 在有界闭域D岚回后贡前页

前页 后页 返回 注意到和数 是连续函数 在有界闭域D

上的积分和, 于是当T? 0 时, 上 式在边超于 DS;而右边超于 /1+ f(x,y)+ f,(x,y) dxdy. 这就得D到曲面S的面积计算公式：(1)DS = /1+ f?(x,y) + f,(x,y) dxdy,D或另一形式：1(2)DS =dxdy0/cos(n,z) I岚回前页后页

前页 后页 返回 上的积分和, 于是当 时, 上式左边趋于 而右边趋于 这就得 或另一形式: 到曲面 S 的面积计算公式:

例1求圆维=x+2在圆柱体 x2+x内那一部分的面积解据曲面面积公式I + z + z,dxdyDS = N51D其中D10a+y?tl2x,即x? + y?曲面方程cx是te2 0xy是z=x + y,故 =Vx'+20Vx+ y滋回前页后贡

前页 后页 返回 解 据曲面面积公式, 其中D 是 曲面方程 例1 求圆锥 在圆柱体 内 那一部分的面积. 是 故

1+z+z, =V2,DS =0/2dxdy = V2DD =2元4D参数曲面的面积公式若空间曲面S由参数方程) (3)x =x(u,v), y=y(u,v),z =z(u,v),(u,v)I D表示, 其中 x(u,v),(u,v),z(u,v) 在D 上具有连续的一阶偏导数,且22[(y,2) 2 2](z,x) 2 +(x,y) o"ac0.(u,)(u,v)I(u,v) oa后页巡回前页

前页 后页 返回 表示，其中 在D上具有连续的 一阶偏导数,且 参数曲面的面积公式 若空间曲面 S由参数方程

则 曲面S在点(x,V,z)的法线方向为r_a(y,z) I(z,x) I(x,y)onST(u,v)'T(u,v)'(u, v) 记al(y,z) o,)oa(x, y) o2-1(W(u,v) :Ve(u,v)(u,v)(u,v)/(x + y + zh)(x, + y, +z,)- (x,x, + yuy, +zuz,)n与7轴夹角的余弦则为后页邀回前页

前页 后页 返回 则曲面S在点 的法线方向为 记 与 轴夹角的余弦则为

rI(x,y)cos(n,z) =(W (t(u,v))I(u,v)1I(x,y)(4)V(u,V) EG- F?其中E = x + yi + zh,F = x,x, + yuy, +zuz,G= x, + y, + z,.1(x,以)1 0 时, 对么式(2)作变换:当(u,v)后页邀回前页

前页 后页 返回 其中 当 时, 对公式(2)作变换: