《数学分析》课程教学课件（讲稿）函数的极值与最大（小）值

S4函数的极值与最大（小）值极大（小）值是局部的最大（小）值，它有看很明显的几何特征。在本节中，我们将逐一研究函数的这些几何特征。一、极值判别二、最大值与最小值邀回后页前页

前页 后页 返回 §4 函数的极值与最大(小)值 二、最大值与最小值 极大(小)值是局部的最大(小)值, 它 一、极值判别 们将逐一研究函数的这些几何特征. 有着很明显的几何特征. 在本节中,我 返回

一、极值判别费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳定点.也就是说，在曲线上相应的点处的切线一定是水平的我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的条件下建立的换句话说，若没有可微这个前提条件，费马定理的结论fαx）=0就无从说起后页返回前页

前页 后页 返回 费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳 一、极值判别 我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的 定是水平的. 定点. 也就是说, 在曲线上相应的点处的切线一 条件，费马定理的结论 就无从说起. 条件下建立的. 换句话说，若没有可微这个前提

当然，费马定理的逆命题亦不真，例如对于任意L的可微函数i（x)，j（0)l0.函数y=xi（x）在点x=0的导数为零，但x=0不是它的x7极值点.下面给出极值的充分条件定理6.10（极值的第一充分条件）设函数f(x)在x,连续，在某邻域 U（x;d）上可导.后页巡回前页

前页 后页 返回 当然，费马定理的逆命题亦不真. 例如对于任意 下面给出极值的充分条件. 定理6.10 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在 极值点. 的可微函数

(i)若当xl (x,-d,x)时,fdx)f0,当xl (x,x,+d)时，fdx)30,则 f(x)在点x,取得极小值(ii)若当xl (x,-d,x,)时,fdx)3 0,当xi (x,x,+d)时，fdx)f 0,则f(x)在点x,取得极大值证根据导函数的符号判别函数单调性的方法，可以知道该定理的几何意义十分明显．在这里仅给出(i)的证明返回后页前页

前页 后页 返回 证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法, 可 出 (i) 的证明. 以知道该定理的几何意义十分明显. 在这里仅给

因为 fdx)t 0, xi (xo - d,xo), f(x)在(xo - d,xol上连续，所以f(x)在(xo-d,x)上递减，故f(x)3 f(x,), xi (x - d,x).同理可证f(x)在[x，x,+d)上递增，故f(x)3 f(x), xi (xo,x, +d)于是f(x)t f(x), xi U(x;d),即x.是f(x）的一个极小值点·后页巡回前页

前页 后页 返回 于是

定理6.11（极值的第二充分条件)设f(x)在点的某邻域U(x;d）内可导，fx）存在.若fdx)=0, fx.)1 0,那么x=x.是f(x)的一个极值点，并且(i)f或x.)>0,则 f(x)在x=x.处取极小值(i)fx)0,limx?XoxRXoX- Xox- Xo后页巡回前页

前页 后页 返回 定理 6.11 (极值的第二充分条件) 设 f (x) 在点 x0 证 同样我们仅证(i). 因为

所以由保号性，存在d>0,当xiU(x;d)时fd(x)>0.x- xo从而当xi（x。-d,x）时fx.) 0.由极值判别的第一充分条件得知：x.是极小值点后页巡回前页

前页 后页 返回 所以由保号性， 由极值判别的第一充分条件得知: x0 是极小值点

注建议读者与教材上的证明方法相比较，这里舱明方法更具一般性例1求函数f(x)=3arctanx-Inx的极值点解由1_- (x*. 3x+1) = 0,3fdx)x(1 + x)1 +Xx求得稳定点153+~53-Xi=,x-22巡回前页后页

前页 后页 返回 注 建议读者与教材上的证明方法相比较, 这里 的 例1 解 由 求得稳定点 证明方法更具一般性

3- V5时 fdx)0 ;<x2253 +当x时, fdx)<0. y2y =3arctan x- Inx所以 x是f(x)的极小值2点，x,是f(x）的极大值点一0xx4x（参见右图）后页巡回前页

前页 后页 返回 所以 (参见右图) 4 2 4

例2 求函数f(x)=(x-a)x 的极值点与极值.解 f(x)=x-ax3 在(-,+￥)上连续.当x！0时，f4x)-gr.2gC3,1(5x- 2a).3x当a0时，稳定点为x=2a不可导点为x=05当α=0时，稳定点为x=0，没有不可导点巡回前页后页

前页 后页 返回 例2 解 稳定点为 x = 0 ，没有不可导点