《数学分析》课程教学课件（讲稿）导数的概念

S1 导数的概念导数是微分学的核心概念，是研究函数与自变量关系的产物，又是深刻研究函数性态的有力工具.无论何种学科，只要涉及“变化率”，就离不开导数一、导数的概念二、导函数三、导数的几何意义返回前页后页

导数是微分学的核心概念, 是研究函数 §1 导数的概念 一 、导数的概念 化率” , 就离不开导数. 三、导数的几何意义 二、导函数 态的有力工具. 无论何种学科, 只要涉及“变 与自变量关系的产物, 又是深刻研究函数性

一、导数的概念一般认为，求变速运动的瞬时速度，求已知曲线上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是微分学产生的三个源头．牛顿和莱布尼茨就是分别在研究瞬时速度和曲线的切线时发现导数的．下面是两个关于导数的经典例子Newten牛顿（1642一1727，英国后页返回前页

一 、导数的概念 一般认为, 求变速运动的瞬时速度，求已知曲线 别在研究瞬时速度和曲线的 牛顿 ( 1642－1727, 英国 ) 两个关于导数的经典例子. 切线时发现导数的. 下面是 微分学产生的三个源头. 牛顿和莱布尼茨就是分 上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是

1.瞬时速度设一质点作直线运动，质点的位置S是时间t的函数，即其运动规律是 s=s(t)，则在某时刻t及邻近时刻t之间的平均速度是_s(0) -s(tg)t-t当t越来越接近t,时，平均速度就越来越接近to时刻的瞬时速度．严格地说，当极限s(t) -s(to) _vlim(1)t-tot-to后页返回前页

1. 瞬时速度 设一质点作直线运动, 质点的位置 s 是     . 0 0 t t s t s t v    当 t 越来越接近 t0时，平均速度就越来越接近 t0 时间 t 的函数, 即其运动规律是 s  s(t), 则在某     v t t s t s t t t     0 0 0 lim (1) 时刻的瞬时速度. 严格地说, 当极限 时刻 t0 及邻近时刻 t 之间的平均速度是

存在时，这个极限就是质点在t.时刻的瞬时速度2.切线的斜率如图所示,需要寻找曲线y=f(x)在其上一点P(xo,Jo）处的切线PT.为此我们在P的邻近取一Q点Q，作曲线的割线PQ，这y=f(x)TP条割线的斜率为Hα0xxXok= f(x)-f(xo)x-Xo点击上图动画演示后页返回前页

2. 切线的斜率 如图所示, . ( ) ( ) 0 0 _ x x f x f x k    存在时, 这个极限就是质点在 t0时刻的瞬时速度. 其上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线 点击上图动画演示 点 Q , 作曲线的割线 PQ ，这 PT. 为此我们在 P 的邻近取一 需要寻找曲线 y = f (x) 在 条割线的斜率为 Q T  0 O x x x y P   y  f (x)

设想一下，当动点O沿此曲线无限接近点P时，k的极限若存在，则这个极限f(x)- f (xo)(2)k = limx→xox-Xo会是什么呢？答：它就是曲线在点P的切线PT的斜率前页后页返回

答: 它就是曲线在点 P 的切线 PT 的斜率. 的极限若存在，则这个极限 会是什么呢？ 设想一下,当动点 Q 沿此曲线无限接近点 P 时，k 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x k x x     (2)

上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同一类型的数学问题：求函数f在点x处的增量△y=f(x)-f(xo)与自变量增量△x=x-x,之比的极限.这个增量比称为函数f关于自变量的平均变化率，增量比的极限（如果存在）称为f在点xo处关于x的瞬时变化率（或简称变化率）后页返回前页

上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同 x0 处关于 x 的瞬时变化率(或简称变化率). 均变化率，增量比的极限 (如果存在) 称为 f 在点 的极限. 这个增量比称为函数 f 关于自变量的平 D y = f (x) – f (x0) 与自变量增量 D x = x – xo之比 一类型的数学问题： 求函数 f 在点 x0 处的增量

定义1设函数 y=f(x)在点 x的某邻域内有定义，如果极限f(x)-f(xo)(3)limx-→xox-Xo存在，则称函数f 在点x,可导，该极限称为f 在xo的导数，记作 f'(x).如果令 Ax=x - xo, Ay= f(xo +Ax) -f(xo), 导数就以写成f(x + 4x)-f(x,)4y=limf'(x,)= lim(4)4x4x→0 △x 4x→0后页返回前页

定义1 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定 义，如果极限 0 0 0 ( ) ( ) lim (3) x x f x f x  x x   存在, 则称函数 f 在点 x0可导, 该极限称为 f 在 如果令 Dx = x – x0 , Dy = f (x0 +Dx) –f (x0), 导数 就 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim . (4) x x y f x x f x f x D x D x D D  D  D      x0 的导数，记作 ( ). 0 f  x 可以写成

这说明导数是函数增量△y与自变量增量△x之的极限,即 F(s）就是()关于x在x,处的变化1率.如果(3)或（4)式的极限不存在,则称f(x)在点xo不可导例1 求函数 v=x3在 x=1处的导数，并求该曲线在点P(1,1)的切线方程解 因为 Ay= f(1+△x)-f(1)=(1+Ar)" -1= 34r +34r2 +Ar3返回前页后页

这说明导数是函数增量 D y 与自变量增量 D x之 比 例1 求函数 y = x 3 在 x = 1 处的导数，并求该曲 线在点 P (1,1) 的切线方程. 解 (1 ) (1) (1 ) 1 3 因为 Dy  f  Dx  f   Dx  3 3 , 2 3  Dx  Dx  Dx 的极限,即 f  (x 0 ) 就是 f (x) 关于 x 在 x0处的变化 点 x0 不可导. 率. 如果 (3) 或 (4) 式的极限不存在, 则称 f (x) 在

所以Ay= lim(3+3Ax+ Ar*)=3.f'(1) = limAx-→0 Ax Ax-0由此可知曲线 y=x3在点 P(1,1)的切线斜率为k = f'(1)=3,于是所求切线方程为 y-1=3(x-1)即y = 3x - 2.后页返回前页

(1) lim lim ( 3 3 ) 3 . 2 0 0   D  D  D D   D  D  x x x y f x x 由此可知曲线 y  x 3在点 P(1, 1) 的切线斜率为 k  f (1)  3, 所以 于是所求切线方程为 y  1  3( x  1), 即 y  3x  2

例2 常量函数 f(x)=c在任何一点 x 的导数都为零.这是因为 △y=0，所以 f'(x)=0例3 证明函数 f(x)=|x/ 在 x=0 处不可导证因为1, x>0,f(x)- f(0)x-0-1, x<0,当x→0 时它的极限不存在，所以f(x)在 x=0处不可导后页返回前页

例2 常量函数 f (x) = c 在任何一点 x 的导数都为 例3 证明函数 f (x) = | x | 在 x = 0 处不可导. 证 因为 ( ) (0) 1, 0, 0 1, 0, f x f x x x         当 x  0 时它的极限不存在, 所以 f (x) 在 x = 0 零. 这是因为 Dy  0，所以 f (x)  0. 处不可导