《数学分析》课程教学课件（讲稿）函数极限的性质

S2函数极限的性质在前面一节中引进的六种类型的函数极限，它们都有类似于数列极限的一些性质.这里仅以limf(x)=A为代表叙述x?Xo并证明这些性质，至于其它类型的性质与证明，只要相应作一些修改即可。一、limf(x)=A的基本性质X?X二、 范例岚回后页前页

前页 后页 返回 在前面一节中引进的六种类型的函数 §2 函数极限的性质 二、范例 一、 的基本性质 性质. 这里仅以 为代表叙述 质与证明，只要相应作一些修改即可. 并证明这些性质，至于其它类型的性 极限，它们都有类似于数列极限的一些 返回

一、lim f(x)=A 的基本性质xRXo定理3.2（惟一性）若 lim f(x)存在,则此极限惟一XRXo证 不妨设 lim f(x)=A 以及 lim f(x)=B.XRX0XRXO由极限的定义，对于任意的正数e,存在正数dj，dz,当 0</x-x/<d,时，a(1)I f(x)- A/<2当0</x- xo/<d,时，巡回后页前页

前页 后页 返回 定理3.2 ( 惟一性 ) 证 不妨设 以及 由极限的定义，对于任意的正数 (1) 若 存在, 则此极限惟一. 一 、 的基本性质

1 f(x)- B/ <(22令d =minid,d,},当 0<|x- x/<d 时, (1)式与(2)式均成立，所以IA- BIf/A- f(x)/+f(x)- B/<e .由的任意性，推得A=B.这就证明了极限是惟一的.巡回前页后页

前页 后页 返回 (2) 式均成立，所以 由￾ 的任意性，推得 A = B. 这就证明了极限是惟 (1) 式 与 一的. (2 )

定理3.3（局部有界性）若 lim f(x)= A, 则存在 U(xo), f(x)在 U(x)上RXo有界.证 取e=1,存在d>0,当0<lx-x,l<d 时，I f(x)- A/ <1 .由此得/ f(x)/</A/+1这就证明了f(x)在某个空心邻域U(xo,d)上有界后页巡回前页

前页 后页 返回 定理 3.3（局部有界性） 证 由此得 有界. 这就证明了 在某个空心邻域 上有界

注:(1）试与数列极限的有界性定理（定理2.3）作一比较；(2）有界函数不一定存在极限；1=1, 但～在（0, 2)上并不是有界的. 这(3) limxR1Xx说明定理中“局部”这两个字是关键性的.巡回后页前页

前页 后页 返回 注： (1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一 (2) 有界函数不一定存在极限； 说明定理中 “局部” 这两个字是关键性 的. 比较；

定理3.4（局部保号性）若lim f(x)=A>0(或r>0 (或 f(x)0. 对于任何 rI (0, A), 取e =A- r,存在d>0,当0A-e>r.后页巡回前页

前页 后页 返回 定理3.4（局部保号性）若 则对任何正数 由此证得 证 不妨设 . 对于任何 取

定理3.5（保不等式性）设 lim f(x)与 lim g(x)XRXoxRX0都存在，且在某邻域 U（x)内有 f(x) g(x),则lim f(x) lim g(x)xRXoxRXo证 设 lim f(x)=A,lim g(x)=B,那么对于任意XRXoXRXoe>0,分别存在正数d,,d,,使当 0A- e;而当0<lx-x/<d, 时，有 g(x)<B+e.后页巡回前页

前页 后页 返回 定理 3.5（保不等式性） 证 分别存在正数 使当 时, 有

令d =minid,,d,,则当0<|x-x/<d时,满足A- e< f(x)f g(x)<B+e,从而有 A<B + 2e.因为e是任意正数，所以证得AB.回后页前页

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定理 3.6 （迫敛性）设 lim f(x)= lim g(x)= A,且xXoXRX0在x.的某个空心邻域Ux）内有f(x) f h(x) f g(x)那么 lim h(x) = A.XRXO证 因为 lim f(x)= lim g(x)= A, 所以对于任意XRXOx?X0e>0,存在d>0,当0<|x-x/<d 时,有A- e<f(x)<A+e,A- e<g(x)<A+e.后页巡回前页

前页 后页 返回 定理 3.6（迫敛性） 证 因为

再由定理的条件，又得A-e< f(x)f h(x)f g(x)<A+e这就证明了h(x)在点x.的极限存在，并且就是A后页邀回前页

前页 后页 返回 再由定理的条件，又得 这就证明了 的极限存在，并且就是 A